Teoria da informação quântica: capacidade de canais e a conjectura da aditividade

Abstract

O tema central deste trabalho é a comunicação clássica por canais quânticos. Introduzimos os pré-requisitos mínimos necessários de teoria da informação e teoria quântica para formular e demonstrar o Teorema da Comunicação de Canais e o Teorema de Holevo-Schumacher-Westmoreland que caracterizam, no caso clássico e quântico, respectivamente, a capacidade de um canal. A capacidade de um canal clássico é o máximo das taxas de transmissão para as quais a probabilidade de erro tende assintoticamente à zero dados usos repetidos e independentes do canal. O Teorema da Codificação de Canais fornece uma expressão para a capacidade em termos da informação mútua entre entrada e saída de um único uso do canal. A capacidade clássica de um canal quântico é definida similarmente, e o Teorema de Holevo-Schumacher-Westmoreland descreve-o como um limite envolvendo a dita quantidade de Holevo de produtos tensoriais do canal. Se essa quantidade assintótica se reduz, como no caso clássico, a uma quantidade envolvendo um único uso do canal, permaneceu uma questão em aberto até recentemente, e deu origem à conjectura da aditividade. Apresentamos as diversas maneiras de como informação clássica pode ser transmitida por um canal quântico, cada uma com uma noção adequada de capacidade, e a relação entre elas. Vemos que, apesar de falsa no geral, a conjectura da aditividade é válida se restrita a certas classes de canais quânticos.

The central theme of this work is the classical communication through quantum channels. We introduce the minimum necessary pre-requisites of information theory and quantum theory to formulate and prove the Channel Coding Theorem and the Holevo-SchumacherWestmoreland Theorem which caracterize, in the classical and quantum cases respectively, the capacity of a channel. The capacity of a classical channel is the maximum rate of transmission for which the error probability asymptotically tend to zero given repeated and independent uses of the channel. The Channel Coding Theorem gives an expression to the capacity in terms of the mutual information between the input and output of a single use of the channel. The classical capacity of a quantum channel is de ned similarly, and the Holevo-Schumacher-Westmoreland Theorem describes it as a limit involving the so called Holevo's quantity of the tensor products of the channel. Whether this quantity reduces itself, as in the classical case, to a quantity involving a single use of the channel, remained an open problem until recently, and gave origin to the additivity conjecture. We present the various ways in which classical information can be transmitted by a quantum channel, each one with an adequate notion of capacity, and the relation between them. We see how, despite false in general, the additivity conjecture holds if restricted to certain classes of quantum channel.