Large deviations for gaussian AR(1) and MA(1) models and bayesian estimation in [infinito]-stable processes

Abstract

Neste trabalho abordamos quatro assuntos que aparecem como destaque: estimação Bayesiana em distribuições -estáveis univariadas e multivariadas; medidas de dependência para processos estocásticos com distribuição -estável multivariada, particularmente, processos VAR(1); análise de matrizes tridiagonais, pentadiagonais e de Toeplitz; e finalmente, grandes desvios em processos Gaussianos AR(1) e MA(1). Na primeira parte, realizamos um estudo das distribuições -estáveis nos casos univariados e multivariados. A seguir, propomos um novo algoritmo para a estimação Bayesiana dos quatro parâmetros de uma distribuição univariada, para dois sistemas de parametrização distintos, usando representações em séries de potências que aproximam as funções de densidade de probabilidade. Comprovamos a eficácia deste método por meio de simulações de Monte Carlo. Como extensão deste método, propomos um novo algoritmo para estimar a medida espectral discreta de vetores aleatórios bivariados e trivariados de distribuições -estáveis. O estudo de medidas de dependência alternativas à função de covariância também é considerado. Primeiramente, apresentamos uma versão multivariada da função de codiferença e apresentamos suas propriedades. Como segunda alternativa, investigamos a medida de covariância espectral introduzida na literatura. Finalmente, um estudo de simulação para processos BVAR (1) estacionários com inovações -estáveis é realizado para entendermos o comportamento de sua função de autocodiferença multivariada generalizada, introduzida aqui. Na segunda parte, estudamos matrizes tridiagonais, pentadiagonais e de Toeplitz. A estrutura de tais matrizes aparece em problemas relacionados à função geradora de cumulantes normalizada bivariada de processos autoregressivos e de média móvel de primeira ordem, estacionários, centrados e com inovações gaussianas. O estudo detalhado dos autovalores obtidos a partir dessas matrizes permite dar uma função limite explícita para a função geradora de cumulantes normalizada e, em alguns casos especiais, provar um Princípio de Grandes Desvios como uma aplicação do teorema de Gärtner-Ellis e do Princípio da Contração.

In this work, we address four major topics: Bayesian estimation in -stable univariate and multivariate distributions; measures of dependency for stochastic processes with multivariate -stable distributions, particularly, VAR(1) processes; analysis of tridiagonal, pentadiagonal, and Toeplitz matrices; and finally, large deviations in AR(1) and MA(1) Gaussian processes. In the first part, we carry out a study on -stable distributions in the univariate and multivariate cases. Next, we propose a new algorithm for Bayesian estimation of the four parameters in univariate distributions for two distinct parameterizations systems, by using power series representations that approximate the probability density functions. We prove the effectiveness of this method through Monte Carlo simulations. As an extension of this method, we propose a new algorithm to estimate the discrete spectral measure of bivariate and trivariate random vectors of -stable distributions. The study of alternative dependence measures to the covariance function is also considered. Firstly, we introduce a multivariate version of the codifference function and present its properties. As a second alternative, we investigate the spectral covariance measure introduced in the literature. Finally, a simulation study for stationary BVAR(1) processes with -stable innovations is done to understand the behavior of its auto generalized multivariate codifference function, introduced here. In the second part, we study tridiagonal, pentadiagonal, and Toeplitz matrices. The structure of such matrices appears in some problems relating to the bivariate normalized cumulant generating function of centered stationary first order autoregressive and moving average processes with Gaussian innovations. The detailed study of the eigenvalues obtained from these matrices allows one to give an explicit limit function for the normalized cumulant generating function and, in some special cases, to prove a Large Deviations Principle as an application of the Gärtner-Ellis’s theorem and the Contraction Principle.