Exterior Dirichlet problems for degenerate p-Laplacian type equations and the fractional p-Laplacian equation

Abstract

We prove the existence of a unique bounded weak solution in C(Rn \ K) ∩ W 1,p loc (R n \ K) of the exterior Dirichlet problem { −div |∇u| p−2A(|∇u|)∇u = f in R n\K u = ϕ in ∂K for any nonempty compact K ⊂ R n and boundary values ϕ ∈ C(∂K), provided that p > n and f ∈ L ∞(R n ) satisfy for positive constants Cf , ϵ, |f(x)| ≤ Cf |x| −p−ϵ , for all |x| sufficiently large. (0.1) We also show that, for any p > 1, any semibounded solution u of the equation on an exterior domain converge at infinity, with a possible infinite limit in case u is unbounded, and we prove the convergence rate has a positive order in case u is bounded and p > n. On the fractional p-Laplacian operator (−∆)s p u(x) = p.v. Z Rn u(x) − u(y) p−2 u(x) − u(y) | x − y | n+sp dy we prove that the radially symmetric functions |x| sp−n p−1 , if sp ̸= n, and log |x|, if sp = n, are solutions of the fractional p-Laplacian equation (−∆)s p u = 0 in R n \ {0}; we then extend the existence result above, obtaining in case sp > n the existence and uniqueness of continuous up to the boundary solutions to the exterior Dirichlet problem for the homogeneous p-Laplacian equation.

Provamos a existência de uma única solução fraca limitada em C(Rn \ K)∩W 1,p loc (R n \ K) para o problema de Dirichlet exterior { −div |∇u| p−2A(|∇u|)∇u = f in R n\K u = ϕ in ∂K para quaisquer compacto não-vazio K ⊂ R n e dado de fronteira ϕ ∈ C(∂K), desde que p > n e f ∈ L ∞(R n ) satisfaça para constantes positivas Cf , ϵ, |f(x)| ≤ Cf |x| −p−ϵ , para todo |x| suficientemente grande. (0.2) Mostramos também que, para p > 1, as soluções limitadas acima ou abaixo u da equação em um domínio exterior convergem no infinito, possivelmente para um limite infinito caso u seja ilimitada, e provamos no caso p > n que a solução tem uma ordem de convergência positiva no infinito. Para o operador p-Laplaciano fracionário (−∆)s p u(x) = p.v. Z Rn u(x) − u(y) p−2 u(x) − u(y) | x − y | n+sp dy provamos que as funções |x| sp−n p−1 , se sp ̸= n, e log |x|, se sp = n, são soluções da equação homogênea (−∆)s p u = 0 em R n\{0}; estendemos o resultado de existência acima, obtendo para the sp > n existência e unicidade de uma solução contínua até a fronteira do problema de Dirichlet exterior para a equação homogênea (−∆)p u = 0.