Contribuições à teoria matemática de escoamentos magneto-micropolares

Abstract

O objetivo inicial do presente trabalho foi provar o problema de Leray para o sistema magneto-micropolar seguindo uma solução simples recentemente obtida em [41] para as equações de Navier-Stokes. Em [26], Leray deixou um problema de decaimento assintótico em aberto que foi resolvido posteriormente por Kato [22]. Tal problema diz que a norma L2 da solução da equação de Navier-Stokes incompressível decai assintoticamente a zero, para tempo grande. Ao provar o problema de Leray, observamos uma taxa de decaimento mais rápida para a velocidade microrrotacional w em relação aos outros campos (u; b). A partir disso, mostramos algumas generalizações naturais dessa propriedade. Mais especi camente, obtém-se informações mais precisas a respeito do decaimento de outras normas como, por exemplo, a norma L1, o decaimento L2 das derivadas de ordem mais alta e, por conseguinte, o decaimento em espaços de Sobolev, em duas e três dimensões. Por m, apresentamos a derivação de uma nova desigualdade para o sistema magneto-micropolar (seguindo o recente trabalho obtido para Navier-Stokes [20]) e algumas interessantes consequências. Além disso, são apresentados alguns resultados básicos de análise, desigualdades de Sobolev e várias propriedades sobre a equação do Calor, dado que tais propriedades se fazem necessárias em nossa análise.

The rst goal in this work was to prove the Leray problem for magneto micropolar system following a simple solution recently obtained in [41] to Navier-Stokes equations. In [26], Leray left a open problem about asymptotic decay that was solved later by Kato [22]. Such problem says that the L2 norm for solutions of incompressible Navier-Stokes equations decay to zero asymptotically at large time. We observe that the micro-rotational velocity decay faster than the others elds (u; b). Hence, we show some natural extensions of this property. More speci cally, we get more detailed information about the L1 norm, the decay of high order derivatives in L2 and the Sobolev spaces decay (in two and three dimensions). Finally, we obtain a derivation of a new fundamental inequalty (in the line of [20]) and some interesting consequences. Furthermore, we present some analysis results, Sobolev inequalities e some Heat Kernel property that will be necessary in our analysis.