Teoremas de ponto fixo, teoria dos jogos e existência do Equilíbrio de Nash em jogos finitos em forma normal

Abstract

Neste trabalho demonstram-se os teoremas de ponto fixo de Brouwer e Kakutani com o objetivo de provar a existência do equilíbrio de Nash em jogos finitos em forma normal. No primeiro capítulo apresentam-se as definições de teoria dos jogos, começando com jogos finitos em forma normal e terminando com o conceito de equilíbrio de Nash. Na primeira seção do capítulo dois desenvolve-se a teoria de simplexes, em Rn, e se demonstra o teorema de Brouwer. Na seção seguinte, são relacionadas as propriedades de semi-continuidade superior e gráfico fechado em set functions, para então provar os teoremas de Celina e von Neumann que, em conjunto com o teorema de Brouwer, resultam no teorema de Kakutani no fim da seção. Como último resultado é demonstrado o teorema de existência do equilíbrio de Nash em jogos finitos em forma normal através do teorema de Kakutani, mostrando que o equilíbrio de Nash é um ponto fixo de uma set function.

In this work, the fixed-point theorems of Kakutani and Brouwer are proved with the intention of showing the existence of Nash equilibrium in finite normal-form games. In the first chapter the needed definitions of game theory are shown, starting with finite normal-form games and ending with the concept of Nash equilibrium. In the first section of chapter two, simplex theory in Rn is developed and then the Brouwer fixer point theorem is proved. In the next section, some relations of upper hemi-continuity and closed graph in set functions are shown, then proving the theorems of Celina and von Neumann that, along with Brouwer theorem, result in Kakutani fixed-point theorem in the end of the section. As the last result, the existence of Nash equilibrium in finite normal-form games is proved through Kakutani’s theorem, relating the Nash equilibrium to the fixed-point of a set function.