Matrix representations for integer partitions : some consequences and a new approach

Abstract

The present work is dedicated to a study on some consequences and behaviors of the two-line matrix representations for some sets of integer partitions and mock theta functions. In the firrst part of the text, we classify the partitions generated by six different mock theta functions, according to the sum of the second line of their associated matrices, and present some closed formulas and identities concerning those partitions. We also define the family of mock theta functions {fm*(q)}m≥1, inspired by what we have called the unsigned version of function f₁(q). We are able to give analogous matrix representations for all of the functions fm*(q), which lead to interesting results concerning the partitions generated by them. Part II of the text deals with a new approach that generates a different set of integer partitions. Its definition is based on a path through the Z² lattice, connecting the line x + y = n to the origin, which is determined by the two-line matrix representation for different sets of partitions of n. The new partitions have only distinct odd parts with some particular restrictions. This process of getting new partitions, which has been called the Path Procedure, is applied to unrestricted partitions, to partitions counted by 1st and 2nd Rogers-Ramanujan Identities, and to those generated by mock theta functions f⁵* (q) and T₁(-q).

O presente trabalho dedica-se ao estudo de algumas consequências da representação matricial para conjuntos de partições de inteiros e funções mock theta. Na primeira parte do texto, classificamos as partições geradas por seis diferentes funções mock theta, de acordo com a soma das entradas da segunda linha das matrizes associadas, e apresentamos algumas fórmulas fechadas e identidades para essas partições. Definimos também a família {fm* (q)}m≥1 de funções mock theta, inspiradas pelo que chamamos de versão sem sinal da função f₁(q). Fornecemos uma representação matricial análoga para as funções fm* (q), o que leva a resultados interessantes a respeito das partições geradas por elas. A parte II do texto trata de uma nova abordagem que gera um conjunto diferente de partições de inteiros. A definição desse conjunto baseia-se na construção de um caminho sobre o reticulado Z², determinado pela representação matricial para diferentes conjuntos de partições de n, e que liga a reta x + y = n à origem. As novas partições possuem apenas partes ímpares distintas, com algumas restições particulares. Esse processo de construção de novas partições, chamado de Path Procedure, e aplicado a partições irrestritas, bem como para partições contadas pelas 1ª e 2ª Identidades de Rogers-Ramanujan e funções mock theta f⁵* (q) e T₁(-q).