Conjuntos minimais para métricas riemannianas no toro bidimensional

Abstract

Neste trabalho estamos interessados em estudar o conjunto das geodésicas que minimizam comprimento de arco entre dois pontos quaisquer. Estas são chamadas de geodésicas minimais. Mais precisamente, dada uma métrica riemanniana g sobre o wro bidimensional iremos considerar o seu levantamento ao plano JR2 . Uma geodésica c : R -7 JR2 é minimal se para todo intervalo [a, b], temos que c([a, b]) é a curva de menor comprimento ligando c(a) a c(b). Vamos considerar aqui um número de rotação a fixado e analisar o conjunto das geodésicas minimais que possuem este número de rotação. Analisaremos questões que envolvem a recorrência e o comportamento assintótico de geodésicas. Por exemplo, uma geodésica mínima recorrente com número de rotação racional será uma geodésica periódica.

In this work we are interested in studying the set of geodesiés that minimize the are length between any h,·o of its points. These are called minimizing geodesics. Wore precisely, given a riemaniann metric g on the two-dimensional torus we will consider its lifting to the plane R2 . A geodesic c: R -7 JR2 is minimal if for any interval [a, b], we have that c([ a, b]) is the curve of smaller Jength connecting c(a) and c(b). we will consider here a fixed rot.ation number a and we will show several results about the set of minimal geodesics with such rotation number. We will analyze questions like recurrence and the asymptotic beha,·ior of such geodesics. For example: a recurrent minimal geodesic with rational rotation number will be a closed geodesic.