O problema de Leray para a equação de Navier-Stokes e algumas generalizações

Abstract

O objetivo desta dissertação é apresentar de maneira mais detalhada uma solução simples, recentemente obtida em [25], para um problema deixado em aberto em 1934 por Leray [19] e resolvido pela primeira vez em 1984 por Kato [15] (e também outros autores, como [21]). Tal problema diz que a norma L2 da solução da equação de Navier-Stokes incompressível decai assintoticamente a zero, para tempo grande. Mostraremos, ainda, algumas generalizações naturais dessa propriedade; seguindo, novamente, a discussão básica em [25]. Nessas generaliza ções, obtém-se informações mais precisas a respeito do decaimento de outras normas como, por exemplo, a norma L1. Com isso, foi possível obter, usando a teoria de Calderón- Zygmund, taxas de deacimento para a pressão. São apresentados, também, a derivação da equação de Navier-Stokes, alguns resultados básicos de análise, desigualdades de Sobolev e vários resultados sobre soluções de equações de Advecção-Difusão, incluindo a equação do Calor, visto que precisaremos de tais propriedades em nossa análise do problema de Leray e suas generalizações consideradas neste trabalho.

In this paper, we present in detail a simple proof, recently obtained in [25], of a result left open in 1934 by Leray [19] and obtained in 1984, for the rst time, by Kato [15] (and others, like [21]), in such result it is said that the L2 norm for solutions of incompressible Navier-Stokes equations decay to zero asymptotically at large time. Thence, we show some natural generalizations of this property; by following, again, the basic discussion in [25]. We obtained, with this, a more detailed information about the decay of other norms, for exemple, the supnorm L1. Thenceforth, we obtained, by Calderón-Zygmund theory, decay rates for the pressure. We also provide a derivation of Navier-Stokes equation, some basic results in analysis, Sobolev inequalities and several results about Advection-Di usion equations, including the heat equation, because we will use these properties in our analysis of Leray's Problem and its generalizations that shall be considered in this work.