Propriedades genéricas de lagrangianos e problemas variacionais holonômicos em sistemas de funções iteradas

Abstract

Este trabalho é composto por duas partes, Propriedades genéricas de lagrangianos e problemas variacionais holonômicos em sistemas de funções iteradas. Na primeira parte, nosso principal resultado é o teorema de Kupka-Smale, no contexto de lagrangianos, afirmando que, para um valor fixado k Є R, genericamente (no sentido de Mañé, isto é, existe um subconjunto residual (em topologia C ∞) de potenciais suaves, O, tais que L + ƒ tem a propriedade desejada, para todo ƒ Є O), para um lagrangiano convexo e superlinear numa variedade compacta, o nível de energia k é regular e todas as órbitas periódicas, neste nível, são não degeneradas de todas as ordens (isto é, a aplicação de Poincaré linearizada, restrita a este nível de energia, não tem raízes da unidade como autovalores). Além disso, todas as interseçõess heteroclínicas neste nível são transversais. Todos os resultados que nós apresentamos são verdadeiros em dimensão n ≥ 2, exceto para teorema de perturbação local para aumentar a ordem de não- degeneração, cuja prova é conhecida somente em dimensão 2. Na segunda parte nós consideramos sistemas de funções iteradas (IFS). Associado a um IFS podemos consider o skew-product contínuo ô que descreve o comportamento global do IFS. Em seguida analisamos-sistemas com pesos para os quais faz sentido definir uma teoria de formalismo termodinâmico. Para tal introduzimos, no contexto de IFS, o conceito (já conhecido para shifts [20]) de probabilidade holonômica em [0, 1] ∑ . Tal conjunto de probabilidades tem a propriedade de descrever, via desintegração, todos as probabilidades estacionárias para o IFS quando este é visto com um processo de Markov. Também consideramos probabilidades holonômicas ergódicas e apresentamos o correspondente ao teorema ergódico (que é apenas uma adaptação do Teorema Ergódico de J. Elton). Para uma probabilidade holonômica no [0, 1] ∑ definimos os conceitos adequados de entropia e pressão obtendo um princípio variacional. Finalmente, nós analisamos o problema de maximizar a integral de um potencial dado.

In this work we consider two subjects: generic properties of lagrangians and variational holonomical problems on iterated functions systems. In the first part, our main result is the Theorem of Kupka-Smale, in the lagrangian setting, claiming that, for a fixed value fixed k Є R, generically (in Ma˜n´e sense, that is, there exists a residual subset (in C∞ topology) of smooth potentials, O, such that L + ƒ have the desired property, for all ƒ Є O), for a convex and superlinear lagrangian defined in a compact surface, the energy level k is regular and all the periodic orbits, in this level, are nondegenerated of all orders (that is, the linearizated Poincar´e map, restricted to the energy level, does’t have roots of unity as eigenvalues). Moreover, all the heteroclinic intersections in this level are transversal. All the results that we present here are true in dim n ≥ 2, except for a theorem of local perturbation, that increase the order of non-degeneration, whose proof we are able to obtain just for dimension 2. In the second part we consider iterated function systems. Associated to a IFS one can consider a continuous map ô which describes the global behavior of the IFS. We introduce, on the IFS setting, the concept (considered before in [20] for shifts) of holonomic probability on [0, 1] ∑ that is closely related with the stationary probabilities for the IFS under the stochastic point of view. We consider the concepts of entropy and pressure for -weighted systems, getting a variational principle. Also we consider holonomic ergodic probabilities and we present the corresponding Ergodic Theorem (which is just an adaptation of a previous result by J. Elton). Finally, we analyze the problem of maximizing the integral of a potential.