Solução ADO para problemas bidimensionais de transporte de partículas com representação exata da lei de espalhamento

Abstract

Neste trabalho, propõe-se uma solução baseada no método ADO para o problema de transferência radiativa em um domínio bidimensional, considerando a representação exata da função de fase. Em estudos disponíveis até o momento que utilizam o método ADO, a função de fase é usualmente representada por uma aproximação, expressa em termos de uma expansão truncada de polinômios de Legendre. Nesse contexto, a representação proposta, baseada na expressão exata da função de fase, evita aproximações e possibilita a análise de graus arbitrários de anisotropia. O método ADO-Nodal, como costuma ser nomeada a formulação em problemas multidimensionais, é empregado para resolver a aproximação da equação em ordenadas discretas. A equação é integrada transversalmente sobre as regiões do domínio, resultando em duas equações unidimensionais dependentes das variáveis espaciais x ou y. A partir dessas equações unidimensionais torna-se viável a utilização do método ADO-Nodal para a resolução do problema homogêneo associado. A partir da solução particular obtida para as equações em x e y, juntamente com as condições de contorno, as condições de continuidade nas interfaces das regiões e as equações auxiliares que aproximam as intensidades desconhecidas nos contornos, neste trabalho funções constantes, determina-se um sistema linear. A solução desse sistema fornece os coeficientes da solução geral do problema. Os resultados numéricos foram obtidos por meio de uma implementação em Fortran, na qual se utilizam as subrotinas da biblioteca LAPACK e HSLMA48 para a resolução do sistema linear. Compara-se a função de fase de HenyeyGreenstein, expandida em polinômios de Legendre, com sua representação exata, estabelecendo-se uma relação entre os coeficientes L e g, que caracterizam a anisotropia. A partir dessa relação, obtêm-se resultados numéricos para um problema teste em meio homogêneo, num domínio bidimensional e com condições de contorno nulas exceto na parede inferior a fim de validar a nova formulação proposta. Além dessa comparação, também foram confrontados os resultados obtidos com a formulação exata da função de fase com aqueles obtidos utilizando o método Diamond Difference e o método das Diferenças Finitas. Posteriormente, analisou-se um problema baseado em dados da tomografia óptica e investigou-se a viabilidade da aplicação da formulação proposta para outras funções de fase. Para o caso isotrópico, os resultados foram comparados com aqueles disponíveis na literatura, apresentando boa concordância. Já para os casos anisotrópicos, as comparações realizadas com outros métodos demonstraram compatibilidade entre os resultados, evidenciando a validade da nova formulação.

In this work, a solution based on the ADO method is proposed for the radiative transfer problem in a two-dimensional domain, considering the exact representation of the phase function. In studies available so far that use the ADO method, the phase function is usually represented by an approximation, expressed in terms of a truncated expansion of Legendre polynomials. In this context, the proposed representation, based on the exact expression of the phase function, avoids approximations and enables the analysis of arbitrary degrees of anisotropy. The ADO-Nodal method, as the formulation is usually named in multidimensional problems, is employed to solve the discrete ordinates approximation of the equation. The equation is transversely integrated over the regions of the domain, resulting in two one-dimensional equations dependent on the spatial variables x or y. Based on these one-dimensional equations, it becomes feasible to use the ADO-Nodal method to solve the associated homogeneous problem. From the particular solution obtained for the equations in x and y, together with the boundary conditions, the continuity conditions at the region interfaces, and the auxiliary equations that approximate the unknown intensities at the boundaries - considered constant functions in this work - a linear system is determined. The solution of this system provides the coefficients of the general solution of the problem. The numerical results were obtained through an implementation in Fortran, utilizing subroutines from the LAPACK and HSL-MA48 libraries to solve the linear system. The Henyey-Greenstein phase function, expanded in Legendre polynomials, is compared with its exact representation, establishing a relationship between the coefficients L and g, which characterize the anisotropy. Based on this relationship, numerical results are obtained for a test problem in a homogeneous medium, within a two-dimensional domain, and with zero boundary conditions except on the lower wall, in order to validate the proposed new formulation. In addition to this comparison, the results obtained using the exact formulation of the phase function were also compared with those obtained using the Diamond Difference method and the Finite Difference method. Subsequently, a problem based on optical tomography data was analyzed, and the feasibility of applying the proposed formulation to other phase functions was investigated. For the isotropic case, the results were compared with those available in the literature, showing good agreement. For the anisotropic cases, comparisons with other methods demonstrated compatibility between the results, highlighting the validity of the new formulation.