Recursive filtering techniques for edge-aware filter analysis and implementation

Abstract

In this work, we aim to develop a formal mathematical method of analyzing edgeaware digital filters similar to how Fourier analysis can be used to understand linear filters. We believe there is a need for such a theory, as until now, distinct edge-aware filters have been compared using purely experimental results. Consequently, comparisons depend on the images used for the comparison and not on the intrinsic properties of the filters. We develop a mathematical framework for describing edge-aware filters and solving associated difference equations with recursive filtering techniques. Within this framework, we show formal proof that the 1D non-homogeneous Tikhonov regularization can be well understood as an edge-aware version of the linear exponential filter and compare two distinct well-known approaches: weight-based smoothing and transform-based smoothing. We show formally that both approaches can be interchanged and provide practical examples. We use our method to describe the 2D non-homogeneous Tikhonov regularization as a sum of axis-aligned 1D recursive filters, providing a fast novel implementation of the filter with time complexity of O(N) on the size of the input image. We also develop an even faster method for implementing the 2D homogeneous Tikhonov regularization using what we refer to as a Gaussian decomposition in the frequency space. This decomposition uses the fact that the homogeneous filter is elliptically symmetrical and decomposes the filter as a sum of Gaussian filters. Each Gaussian filter can be implemented through recursive filtering, leading to a fast O(N) solution for the 2D homogeneous Tikhonov regularization problem. Lastly, we extend our theory for solving more sophisticated inverse problems, particularly the Controlled Source Electromagnetics (CSEM), using the iterative Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM), split into a matrix inverse step and a smoothing step. We discuss how we can insert edge-aware filtering in this smoothing step and propose to use this to improve the visual sharpness of the result, as well as the computation time.

Neste trabalho, buscamos desenvolver um método matemático formal para analisar filtros digitais não lineares edge-aware, de forma semelhante à análise de Fourier utilizada para analisar filtros lineares. Acreditamos que há necessidade de tal teoria, pois, até o momento, diferentes filtros edge-aware têm sido comparados apenas por meio de resultados experimentais. Assim, as comparações dependem das imagens utilizadas e não de propriedades intrínsecas dos filtros. Desenvolvemos uma modelagem matemática para descrever filtros edge-aware e resolver equações de diferenças associadas utilizando técnicas de filtragem recursiva. Nessa modelagem, demonstramos formalmente que a regularização de Tikhonov não homogênea 1D pode ser compreendida como uma versão edge-aware do filtro exponencial linear e comparamos duas abordagens bem conhecidas: suavização baseada em pesos e suavização baseada em transformadas. Mostramos formalmente que podemos intercambiar ambas abordagens e fornecemos exemplos práticos. Utilizamos nosso método para descrever a regularização de Tikhonov não homogênea 2D como uma soma de filtros recursivos 1D alinhados aos eixos, proporcionando uma nova implementação eficiente do filtro com complexidade de tempo de O(N) em relação ao tamanho da imagem de entrada. Ainda, desenvolvemos um método mais rápido para implementar a regularização de Tikhonov homogênea 2D usando o que chamamos de decomposição Gaussiana no espaço de frequência. A decomposição explora o fato de que o filtro homogêneo é simétrico elipticamente e o decompõe como uma soma de filtros Gaussianos, cada qual pode ser implementado com filtragem recursiva, resultando em uma solu- ção eficiente em O(N). Por fim, estendemos nossa teoria para resolver problemas inversos mais sofisticados, em particular, o Controlled Source Electromagnetics, utilizando o Alternating Direction Method of Multipliers, dividido em uma etapa de inversão matricial e uma etapa de suavização. Discutimos como a filtragem edge-aware pode ser incorporada nessa etapa de suavização e propomos seu uso para melhorar a nitidez do resultado, bem como o tempo de computação.