Holonomy observables for the Turaev–Viro model

Abstract

This paper presents a study of holonomy observables for the Turaev–Viro model, a finite model of three-dimensional loop quantum gravity with a positive cosmological constant. A concise review of central aspects of loop quantum gravity and of a categorical formalism for discrete gauge theories is presented with the intent to contextualize the Turaev–Viro model (and its underlying topological invariant) within a more general setting, which clarifies the role of the Hopf algebra u˘q(sl2) in its construction. The results point to the Hopf algebra c˘q[SL2] as the obvious candidate to be used in the mathematical description of the observables under investigation. A novel computation on the duality of two Hopf algebras related to the ones mentioned above is also presented and an evaluation of their potential as alternative descriptors of spin and holonomy observables for the model shows that their exoticness is related to their mathematical unsuitability as foundations of a topological quantum field theory.

Este trabalho apresenta uma proposta para o estudo de observáveis de holonomia para o modelo de Turaev–Viro, um modelo para gravitação quântica em laços tridimensional com constante cosmológica positiva. Uma revisão concisa de aspectos centrais da gravitação quântica em laços e de um formalismo categórico para teorias de calibre discretas é apresentada com o intuito de contextualizar o modelo de Turaev–Viro (e seu invariante topológico subjacente) dentre um cenário mais geral, que esclareça o papel da álgebra de Hopf u˘q(sl2) em sua construção. Os resultados apontam para a álgebra de Hopf c˘q[SL2] como a candidata óbvia a ser utilizada na descrição matemática dos observáveis sob investigação. Uma computação inédita sobre a dualidade entre duas álgebras de Hopf relacionadas àquelas mencionadas acima é apresentada e uma avaliação do seu potencial como descritores alternativos para observáveis de spin e holonomia para o modelo mostra que seu exotismo está relacionado com a sua inadequação matemática como bases para uma teoria quântica de campos topológica.