Análise formal da complexidade de algoritmos genéticos

Abstract

O objetivo do trabalho é estudar a viabilidade de tratar problemas de otimização, considerados intratáveis, através de Algoritmos Genéticos, desenvolvendo critérios para a avaliação qualitativa de um Algoritmo Genético. Dentro deste tema, abordam-se estudos sobre complexidade, classes de problemas, análise e desenvolvimento de algoritmos e Algoritmos Genéticos, este ultimo sendo objeto central do estudo. Como produto do estudo deste tema, é proposto um método de desenvolvimento de Algoritmos Genéticos, utilizando todo o estudo formal de tipos de problemas, desenvolvimento de algoritmos aproximativos e análise da complexidade. O fato de um problema ser teoricamente resolvível por um computador não é suficiente para o problema ser na prática resolvível. Um problema é denominado tratável se no pior caso possui um algoritmo razoavelmente eficiente. E um algoritmo é dito razoavelmente eficiente quando existe um polinômio p tal que para qualquer entrada de tamanho n o algoritmo termina com no máximo p(n) passos [SZW 84]. Já que um polinômio pode ser de ordem bem alta, então um algoritmo de complexidade polinomial pode ser muito ineficiente. Genéticos é que se pode encontrar soluções aproximadas de problemas de grande complexidade computacional mediante um processo de evolução simulada[LAG 96]. Como produto do estudo deste tema, é proposto um método de desenvolvimento de Algoritmos Genéticos com a consciência de qualidade, utilizando todo o estudo formal de tipos de problemas, desenvolvimento de algoritmos aproximativos e análise da complexidade. Uma axiomatização tem o propósito de dar a semântica do algoritmo, ou seja, ela define, formalmente, o funcionamento do algoritmo, mais especificamente das funções e procedimentos do algoritmo. E isto, possibilita ao projetista de algoritmos uma maior segurança no desenvolvimento, porque para provar a correção de um Algoritmo Genético que satisfaça esse modelo só é necessário provar que os procedimentos satisfazem os axiomas. Para ter-se consciência da qualidade de um algoritmo aproximativo, dois fatores são relevantes: a exatidão e a complexidade. Este trabalho levanta os pontos importantes para o estudo da complexidade de um Algoritmo Genético. Infelizmente, são fatores conflitantes, pois quanto maior a exatidão, pior ( mais alta) é a complexidade, e vice-versa. Assim, um estudo da qualidade de um Algoritmo Genético, considerado um algoritmo aproximativo, só estaria completa com a consideração destes dois fatores. Mas, este trabalho proporciona um grande passo em direção do estudo da viabilidade do tratamento de problemas de otimização via Algoritmos Genéticos.

The objective of the work is to study the viability of treating optimization problems, considered intractable, through Genetic Algorithms, developing approaches for the qualitative evaluation of a Genetic Algorithm. Inside this theme, approached areas: complexity, classes of problems, analysis and development of algorithms and Genetic Algorithms, this last one being central object of the study. As product of the study of this theme, a development method of Genetic Algorithms is proposed, using the whole formal study of types of problems, development of approximate algorithms and complexity analysis. The fact that a problem theoretically solvable isn’t enough to mean that it is solvable in pratice. A problem is denominated easy if in the worst case it possesses an algorithm reasonably efficient. And an algorithm is said reasonably efficient when a polynomial p exists such that for any entrance size n the algorithm terminates at maximum of p(n) steps [SZW 84]. Since a polynomial can be of very high order, then an algorithm of polynomial complexity can be very inefficient. The premise of the Genetic Algorithms is that one can find approximate solutions of problems of great computational complexity by means of a process of simulated evolution [LAG 96]. As product of the study of this theme, a method of development of Genetic Algorithms with the quality conscience is proposed, using the whole formal study of types of problems, development of approximate algorithms and complexity analysis. The axiom set has the purpose of giving the semantics of the algorithm, in other words, it defines formally the operation of the algorithm, more specifically of the functions and procedures of the algorithm. And this, facilitates the planner of algorithms a larger safety in the development, because in order to prove the correction of a Genetic Algorithm that satisfies that model it is only necessary to prove that the procedures satisfy the axioms. To have conscience of the quality of an approximate algorithm, two factors are important: the accuracy and the complexity. This work lifts the important points for the study of the complexity of a Genetic Algorithm. Unhappily, they are conflicting factors, because as larger the accuracy, worse (higher) it is the complexity, and vice-versa. Thus, a study of the quality of a Genetic Algorithm, considered an approximate algorithm, would be only complete with the consideration of these two factors. But, this work provides a great step in direction of the study of the viability of the treatment of optimization problems through Genetic Algorithms.