Teoria dos grandes desvios na estimação de processos autorregressivos de primeira ordem

Abstract

Neste trabalho estudamos princípios de grandes desvios aplicados à estimação do parâmetro de um processo autorregressivo Gaussiano de primeira ordem. Levamos em consideração o estimador de Yule-Walker e o estimador de mínimos quadrados do parâmetro deste processo. O método utilizado para obter à função taxa, consiste na decomposição dos estimadores em uma combinação linear entre variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com distribuição χ 2 1 . Os coeficientes dessa combinação linear são os autovalores do produto de duas matrizes de Toeplitz. Também estudamos o processo autorregressivo de primeira ordem com inovações advindas de um processo α-estável não-Gaussiano. Mostramos que tal processo é estacionário, mixing e ergódico. Além disso, provamos que a matriz de codiferença deste processo pode ser representada através de uma matriz de Toeplitz

In the present work, we apply the large deviation principles to the parameter estimation of a first order autoregressive Gaussian process. We consider the Yule-Walker and the least squares estimators for the paramater of this process. The method used here consists in the decomposition of the estimators into a linear combination of independent and identically distributed random variables, with a χ 2 1 distribution. The coefficients of this linear combination are the eigenvalues of a two Toeplitz matrices product. We also study the first order autoregressive process with non-Gaussian α-stable innovations. We show that this process has stationarity, mixing and ergodic properties. Moreover, we prove that the codifference matrix of this process can be represented as a Toeplitz matrix.