Estimação e previsão em processos sfiegarch : variância finita e infinita

Abstract

Neste trabalho definimos e estudamos uma nova classe de processos estocásticos pertencente à família ARCH. Tais processos são denominados FIEGARCH com sazonalidade ou, simplesmente, SFIEGARCH. Definimos e estudamos as propriedades teóricas dos modelos SFIEGARCH em dois contextos diferentes. Primeiramente, consideramos os processos para os quais as inovações possuem variância finita. Em um segundo momento, estendemos a definição do processo SFIEGARCH para inovações com distribuição α-estável, quando 1 < α < 2, portanto, com variância infinita. Os processos definidos dessa maneira são denotados α-SFIEGARCH para deixar implícita a relação com as distribuições α-estáveis. Tanto no caso de variância finita quanto infinita, apresentamos condições necessárias e suficientes para que os processos SFIEGARCH estejam bem definidos. Tratamos da invertibilidade, estacionariedade (fraca e estrita), ergodicidade e representação espectral (no caso de variância finita) destes processos. Discutimos a representação por série infinita para o logaritmo da volatilidade e apresentamos uma fórmula de recorrência para o cálculo dos coeficientes nessa representação, discutindo suas propriedades assintóticas. Apresentamos uma descrição detalhada dos principais métodos para a estimação, tanto do parâmetro de longa dependência, quanto dos demais parâmetros dos modelos SFIEGARCH. Em particular, mostramos como obter as expressões da função de verossimilhança, quase-verossimilhança, e pseudo-verossimilhança para os processos em questão. Discutimos ainda o método de estimação de Whittle e a extensão do estimador para o caso em que as inovações possuem distribuição α-estável. Consideramos ainda métodos Bayesianos para a estimação dos parâmetros dos modelos SFIEGARCH e α-SFIEGARCH. Abordamos também a previsão para os processos SFIEGARCH. No caso de variância finita, obtemos preditores h passos à frente considerando-se o método da esperança condicional e uma expansão de Taylor, de ordem 2, para a função logaritmo. No caso dos processos α-SFIEGARCH, derivamos condições necessárias para a existência dos preditores definidos através do método da esperança condicional, bem como obtemos preditores h passos à frente utilizando a medida de dispersão. Aplicações considerando as série temporais dos log-retornos dos índices Bovespa e S&P500 ilustram a utilização, na prática, dos modelos estudados neste trabalho.

In this work we define and study a class of stochastic processes belonging to the so called ARCHtype family of models. The new class of models is called Seasonal FIEGARCH or simply SFIEGARCH. Theoretical properties of these models are studied in two different contexts, namely, finite and infinite variance innovations. The processes defined under the assumption that the innovations have α-stable distribution, with 1 < α < 2, are denoted by α-SFIEGARCH to make implicit the relationship with the stable distribution. In both cases finite and infinite variance, we present necessary and sufficient conditions under which SFIEGARCH processes are well defined. We provide conditions for the invertibility, stationarity (weak and/or strict) and ergodicity property of these processes. In the finite variance case we also study the spectral density function of the process. We discuss the infinite series representation for the logarithm of volatility, present a recurrence formula to obtain the coefficients in this representation and analyze their asymptotic behavior. We present a detailed description on the main estimation procedures. In particular, we show how to obtain the expressions for the likelihood, quasi-likelihood and pseudo-likelihood functions for SFIEGARCH processes. We also summarize the Whittle method for parameter estimation and present a Whittle-type estimator which can be applied when the innovation process has α-stable distribution. Bayesian methods for parameter estimation in the context of both SFIEGARCH and α-SFIEGARCH are also discussed. Forecasting procedures are also discussed. In particular, for the finite variance case, we obtain hstep ahead predictors considering the conditional expectation technic and a order-2 Taylor expansion for the logarithm function. For α-SFIEGARCH processes, we derive necessary conditions for the existence of the h-step ahead predictor obtained through the conditional expectation and define a predictor based on the dispersion measure. Applications to the Bovespa and S&P500 stock exchange index log-return time series illustrate the practical application of the models studied in this work.