Harmonicidade de aplicações de Gauss e subvariedades com vetor curvatura média paralelo

Abstract

Seja M uma subvariedade de uma variedade Riemanniana N. Denote por N (M ) o fibrado vetorial (sobre M ) das seções do fibrado normal de M e por E (M ) o fibrado vetorial das seções do fibrado vetorial de endomorfismos de T M munido com a métrica de Hilbert-Schimdt. Seja B : N (M ) → (M ) o homomorfismo entre fibrados B(η) = Sη, onde Sη é a segunda forma fundamental de M determinada por η (M ). Seja B* : (M ) (M ) o homomorfismo entre fibrados definido pontualmente como a adjunta de B. Al´em disso, consideremos o homomorfismo de fibrados normal de Ricci, Ric⊥M : N (M ) → N (M ) definido, em cada fibra, como o seguinte traço: Para η1, η2 ∈ Tp⊥M, (Ric⊥M (η1)(p), η2) := tr ((X, Y ) ∈ TpM × TpM ›→ (R(η1, X)η2, Y ) ∈ R) . Como resultados principais da tese apresentamos classes de variedades Riemannianas N e M (como espa¸cos sim´etricos N e subvariedades M com vetor curvatura média paralelo) `as quais associamos a cada seção normal η paralela de M uma aplicação de Gauss γη : M Sm e mostramos que η é um autovetor paralelo do homomorfismo autoadjunto entre fibrados B*B + Ric⊥M : N (M ) -> (M ) se e somente se γη é harmônica, onde Sm é a esfera Euclidiana da dimensão apropriada.

Let M be a submanifold of a Riemannian manifold N. Denote by (M ) the vector bundle (over M ) of sections of the normal bundle of M and by E (M ) the vector bundle of sections of the vector bundle of endomorphisms of T M equipped with the Hilbert-Schimdt metric. Let B : N (M ) → E (M ) be the bundle homomorphism B(η) = Sη, where Sη is the second fundamental form of M determined by η (M ). Let B* :E (M ) N (M ) be the bundle homomorphism defined as the fiber-wise adjoint map of B. Also, consider the normal Ricci bundle homomorphism Ric⊥M : N (M ) → N (M ) defined, at each fiber, as the following trace: For η1, η2 ∈ Tp⊥M Ric⊥M (η1)(p), η2 = tr ((X, Y ) ∈ TpM × TpM ›→ (R(η1, X)η2, Y ) ∈ R) . As main results of this thesis we present classes of Riemannian manifolds N and M (as symmetric spaces N and submanifolds M with parallel mean curvature vector) in which one associates to each unit parallel normal section η of M a Gauss map γη : M Sm and it holds that η is an eigenvector of the self-adjoint bundle homomorphism B*B + Ric⊥M : N (M)-> N (M ) if and only if γη is harmonic, Sm being a unit Euclidean sphere of some appropriate dimension m.