Resultados exatos e de estabilidade em colorações de hipergrafos

Abstract

A presente tese de doutorado trata de problemas de coloração de hipergrafos. Mais precisamente, nós trabalhamos com o chamado Problema de Erdos e Rothschild no caso de colorações arco- ris de hipergrafos. Nossas contribuições envolvem os hipergrafos plano de Fano (hipergrafo 3-uniforme com 7 v ertices e 7 hiperarestas onde todo par de v ertices e coberto) e K(k) +1 (hipergrafo obtido do grafo K+1 onde cada aresta recebe k ð€€€2 novos v ertices). Para F 2 fFano;K(k) +1g, encontramos o hipergrafo k-uniforme com o maior n umero de r-colorações de hiperarestas que não contêm cópia de F com a propriedade de que todas as suas hiperarestas têm cores distintas. Como ferramentas para tais demonstrações, obtivemos resultados mais precisos de estabilidade para K(k) +1 e outros hipergrafos ou famílias de hipergrafos, bem como um resultados de estabilidade para colorações para uma classe de hipergrafos lineares, que contém Fano e K(k)+1. Para os resultados de estabilidade para colorações utilizamos o Lema de Regularidade, introduzido por Szemeredi no contexto de grafos, e o Lema de Imersão, ambos considerados mais tarde para hipergrafos lineares por Kohayakawa, Nagle, Rodl e Schacht.

In this thesis we consider problems about colorings of hypergraphs. More precisely, we deal with the so-called Erd}os and Rothschild Problem in the case of rainbow colorings of hypergraphs. Our contributions involve the hypergraphs Fano plane (the 3-uniform hypergraph on 7 vertices and 7 hyperedges where every pair of vertices is covered) and K(k) `+1 (the hypergraph obtained from K`+1 where each edge is enlarged by k ð€€€ 2 new vertices). For F 2 fFano;K(k) `+1g, we obtained the k-uniform hypergraph with the largest number of r-colorings of hyperedgees not containing a copy of F with the property that all hyperedges are colored di erently. As a tool for such proofs, we obtained a sharper stability result for K(k) `+1 and other hypergraphs and families of hypergrahs. We also obtained a color stability result for a class of linear hypergraphs, which contains Fano and K(k) `+1. For these color stability result we used the Regularity Lemma, originally stated by Szemer edi for graphs, and the Embedding Lemma, both considered later for linear hypergraphs by Kohayakawa, Nagle, Rodl and Schacht