Modelos elásticos não classicos para vibrações de micro e nanovigas

Abstract

É realizado um estudo da dinâmica de vigas em micro e nano escalas, baseado em modelos contínuos não clássicos de acordo com teorias que consideram a dependência de escala (parâmetros de comprimento característico interno, energia de deformação e tensão superficial): teoria não local de Eringen, teoria do gradiente de deformação e teoria da elasticidade de superfície. Esses modelos são formulados matricialmente a fim de visualizar e comparar as modificações geradas pela inclusão dos efeitos mencionados. A obtenção de soluções harmônicas no tempo resulta em problemas de autovalor regulares e singulares, e polinômios característicos de ordem superior. O comportamento das soluções é determinado pela introdução de frequências críticas não clássicas, as quais se reduzem a frequência crítica clássica quando os efeitos de escala são negligenciados. As abordagens utilizadas para determinação de modos e frequências naturais de vibração são o método espectral com uso da base gerada pela resposta fundamental e base de Euler, e modificações do método da decomposição de Adomian. Respostas forçadas e não lineares são obtidas utilizando aproximação espectral para a resposta impulso distribuída e o método de Adomian. É constatado que para o caso biapoiado os efeitos não locais influenciam as frequências naturais, preservando o comportamento qualitativo dos modos. Propriedades dinâmicas para vigas fixa-livre são mais influenciadas, apresentando modos degenerados. Quando a espessura da viga é comparável à medida de comprimento interno, o modelo gradiente de deformação sofre maior influência em relação aos resultados clássicos. Os efeitos de superfície tem influência apenas na nanoescala, na microescala os resultados tendem aos resultados clássicos.

It is worked out a study of micro and nano beam dynamics, based on non classical continuum theories, that consider the size dependence (internal characteristic length parameters, strain energy and surface stress): Eringen's non local theory, strain gradient and surface elasticity theory. These models were written within a matrix framework in order to visualize and compare the modifications due to the inclusion of the small scale e ects. The nding of time-harmonic solutions leads to regular and singular eigenvalue problems that involve higher-order characteristic polynomials. The behavior of solutions was determined by the introduction of non-classical critical frequencies that reduced to the classical Timoshenko critical frequency when size e effects are neglected. The approaches used for the obtention of mode shapes and natural frequencies were: the spectral method with the natural basis generated by fundamental response and the Euler's basis, and modi cations of the Adomian decomposition method. Forced and non linear responses are obtained by using spectral approximation of the distributed impulse response and with the Adomian method. It is observed, in agreement with corresponding literature, that for simply supported beams, the non local e ects change natural frequencies but somehow preserve the qualitative behavior of the modes. Dynamical properties of clamped free beams su er more in uence, showing the appearance of degenerated modes for some non local parameters. The strain gradient model exhibits more in uence in relation to classical results when beam thickness is comparable to the material length scale parameter. The surface e ects have influence only in the nanoscale, in microscale results tend to classical results.