Métodos iterativos para a solução da equação de Poisson

Abstract

O objetivo deste trabalho é estudar o uso de métodos iterativos para a obtenção da solução da equação de Poisson com condições de contorno de Dirichlet e de Neumann para o caso uni e bidimensional em um retângulo (0, 1) × (0, 1). Ao discretizar a equação de Poisson com o método de diferenças finitas obtém-se um sistema linear que pode ser resolvido através de um método iterativo. Para o problema de Neumann obtemos condições para que o problema tenha solução baseado na integral do termo fonte. Fez-se um breve estudo referente aos métodos iterativos de Jacobi, Gauss-Seidel e SOR aplicados ao sistema obtido analisando o espectro da matriz de iteração dos respectivos métodos. A partir do maior autovalor em módulo po- demos estudar a convergência dos métodos (quando os autovalores estão no disco unitário) e a taxa de convergência com a qual cada método convergirá. Foi desenvolvido um código em linguagem Fortran e MATLAB para tes- tar os resultados teóricos aplicados à solução do problema de Poisson num quadrado. Estudou-se também o método SOR e a obtenção do parâmetro ω ótimo. Ainda neste trabalho destacamos também a aplicação dos resultados na solução do problema da cavidade. Utilizando o método PRIME, a partir da equação de Navier-Stokes podemos obter uma equação de Poisson para a pressão. Dos problemas estudados montou-se os sistemas lineares, a partir destes pode-se verificar a existência de uma única ou infinitas soluções. E a partir da matriz de iteração de cada método iterativo pode-se determinar os autovalores e assim concluir quanto a convergência de cada método.

The aim of this work is to study the convergence of iterative methods for the solution of the Poisson equation with Dirichlet and Neumann boundary conditions in an interval (0, 1) and, in the bi-dimensional case, in a rectangle (0, 1) × (0, 1). The idea is to discretize the problem using the finite difference method and obtain a linear system that can be solved by an iterative method, such as Jacobi, Gauss-Seidel, and SOR. We present eigenvalue formulas for the matrix of the linear system and for the matrices of the iterative methods. Such eigenvalues can be used to decide upon the convergence and rate of convergence of those methods. For the iterative method to be convergent, the spectral radius of the iteration matrix should be less than one. We also obtain similar convergence cri- teria for semiconvergent and conditionally convergent methods that appear in the Neumann problem, where some eigenvalues have modulus equal to one. We compare the Jacobi, Gauss-Seidel and SOR methods to obtain and optimal rate of convergence for the best choice of a paramenter ω in the last one. In the end, we present an application of the results on the solution of a Poisson equation that appears in the solution of a Navier Stokes problem.