Controle de caos em uma cadeia trófica de três espécies, descrita através do modelo de Hastings e Powell

Abstract

Fizemos o controle de caos determinístico num modelo de ecossistema, recentemente proposto por Hastings e Powell, descrevendo o comportamento dinâmico de uma cadeia alimentar de três espécies. Este modelo ecológico é um sistema dinâmico tridimensional, envolvendo três equações diferenciais ordinárias não lineares de primeira ordem com um parâmetro de controle. Calculamos os expoentes de Lyapunov para os atratores do sistema, quando se varia o parâmetro do sistema. Observamos que, dependendo do valor assumido por este parâmetro de controle, o comportamento dinâmico do ecossistema pode evoluir para diferentes atratores, tais como um ponto de equilíbrio estável, ou um ciclo limite estável, ou um atrator caótico. Se, por um lado, a imprevisibilidade a longo alcance associada com o caos pode ser indesejável em tal contexto, por outro lado, a possibilidade de usar o método Ott- Grebogi- Yorke ( OGY) de controle de caos evidencia que, a presença de caos pode, na verdade, ser vantajosa, pois podemos escolher qualquer uma, de um grande número de órbitas para estabilizar. Para testar como o modelo de Hastings e Powell responde à estratégia de controle OGY, tentamos aplicar esta técnica para o controle de um dos atratores caóticos previamente observados. Assim, depois de reconhecer um valor do parâmetro do sistema que está relacionado a um atrator caótico, localizamos as órbitas de sela periódicas imersas nele. A seguir, exploramos as órbitas periódicas instáveis já existentes em nosso atrator caótico e, fazendo pequenas perturbações dependentes do tempo no parâmetro do sistema, estabilizamos duas órbitas periódicas distintas. Além disso, verificamos a flexibilidade da aplicação do método OGY de controle, permitindo alterar o comportamento dinâmico do sistema de órbitas periódicas diferentes.

We have achieved control of deterministic chaos in an ecosystem model, recently proposed by Hastings & Powell, describing the dynamical behavior of a three-species food chain. This ecological model is a three-dimensional dissipative dynamical system involving three first-order nonlinear differential equations with a control parameter. We evaluate the Lyapunov exponents for the attractors of the system, as the system parameter is varied. So we observe that, depending on the value assumed by this control parameter, the dynamical behavior o f the ecosystem can evolve to many different attractors, such as stable focus, or a stable limit cycle, or a chaotic attractor. At first sight, the long-term unpredictability associated with chaos may be undesirable in such setting; but, since can use the Ott-Grebogi-Yorke ( OGY) method of controlling chaos, the presence of chaos may be in fact advantageous, because we can choose any one of a number of different orbits to stabilize. In arder to check how does the Hastings & Powell respond to the OGY control strategy, we attempt to apply this technique for the control of one of the chaotic attractors previously observed. So, after recognizing a value of the system parameter which is related to a chaotic attractor, we locate periodic saddle orbits embedded in it. Then, we exploit the already existing unstable periodic orbit in our chaotic attractor, and we stabilize two different attracting time-period motions by making small time-dependent perturbations on the system parameter. Furthermore, we check the multipurpose fiexibility, as the system behavior can be allowed for switch different stabilized periodic orbits.