Nyström method applied to the transport equation in cylindrical geometries

Abstract

The transport equation has a wide range of applications, such as neutron transport, heat transfer, radiation in gas turbines, radiative cooling of glass, fluorescence tomography, crystal growth of semitransparent materials, and photon and electron radiotherapy. The numerical simulation of this equation tends to be very difficult and the computational complexity arising from the high number of dimensions in the phase space and from its integro-differential structure leads to the challenge of conciliating accuracy and performance. Several different methodologies have been investigated over the years by many research groups. Among them, the Nyström method with the singularity-subtraction technique to the integral formulation has been shown to be as effective as more traditional methods. From the point of view of numerical implementation, the Nyström method is well established for the solution of integral equations and allows good accuracy, noting that the basic idea of the method is to replace the integral operator by a numerical quadrature scheme and produce a linear system to be solved. In recent works of Fabio S. De Azevedo and other researchers, Nyström method was used to solve different classes of two-dimensional problems of neutron transport in X-Y geometry. In such works, analytical and computational refinements were made in order to work with singularities, to obtain numerical precision and to accelerate the computation process, producing high quality numerical results with relatively low computational times. The contribution of the present research goes in this direction, advancing in preexistent transport theory. High precision numerical results for transport problems in cylindrical geometries are obtained from the mathematical analysis involved, using tools such as elliptic integrals and their properties. The quality of these results shows that the method, in addition to suppressing the ray effects and producing accurate results, has the potential to efficiently treat curved geometries.

A equação do transporte tem uma ampla gama de aplicações, como transporte de nêutrons, transferência de calor, radiação em turbinas a gás, resfriamento radiativo de vidro, tomografia por fluorescência, crescimento de cristais de materiais semitransparentes e radioterapia de fótons e elétrons. A simulação numérica dessa equação tende a ser muito difícil e a complexidade computacional decorrente do elevado número de dimensões no espaço de fase e de sua estrutura integro-diferencial leva ao desafio de conciliar precisão e desempenho. Diversas metodologias diferentes foram investigadas ao longo dos anos por muitos grupos de pesquisa. Entre elas, o método de Nyström com a técnica de subtração de singularidade para a formulação integral tem se mostrado tão eficaz quanto os métodos mais tradicionais. Do ponto de vista da implementação numérica, o método de Nyström está bem estabelecido para a solução de equações integrais e permite boa precisão, sendo a ideia básica do método substituir o operador integral por um esquema de quadratura numérica e produzir um sistema linear para ser resolvido. Em trabalhos recentes de Fabio S. De Azevedo e outros pesquisadores, o método de Nyström foi usado para resolver diferentes classes de problemas de transporte de nêutrons bidimensionais na geometria X-Y. Nesses trabalhos, refinamentos analíticos e computacionais foram feitos para trabalhar com singularidades, obter precisão numérica e acelerar o processo computacional, produzindo resultados numéricos de alta qualidade em tempos computacionais relativamente baixos. A contribuição da presente pesquisa vai nessa direção, avançando na teoria de transporte preexistente. Resultados numéricos de alta precisão, para problemas de transporte em geometrias cilíndricas, são obtidos a partir da análise matemática envolvida, utilizando ferramentas como integrais elípticas e suas propriedades. A qualidade desses resultados mostra que o método, além de suprimir o efeito raio e produzir resultados precisos, tem potencial para tratar geometrias curvas de maneira eficiente.