Geometric properties of spin models : cluster size heterogeneity

Abstract

Many systems are continually evolving in nature. In contrast to phenomena at, or close to, equilibrium, the behavior of out of equilibrium systems is much less understood. The geometrical characterization of the structures, e.g., domains and hulls, common for certain classes of non-equilibrium dynamics and their time evolution are important in determining the macroscopic properties of many systems. For example, consider the problem of phase-ordering kinetics, when a system is suddenly quenched from a high temperature state, driving the system from a disordered phase to an ordered one. After the quench, ordered regions begin to form and grow via domain coarsening. The morphology of the domain structure holds information about the system’s geometric properties and also grasp information about its phase transition. Many systems exhibit domain growth, with examples varying from magnetic domain growth in ferromagnetic materials to the phase separation in bacterial populations. In particular, only recently, the role of the critical percolation point on the dynamical properties of 2d spin systems after a sudden temperature quench has been considered. In equilibrium, it is possible to resolve the thermal and percolative effects on finite lattices by studying the cluster size heterogeneity, Heq(T), a measure of how heterogeneous the domains are in size. In this thesis, we extend the equilibrium measure Heq(T) to out of equilibrium configurations, deriving an analytical expression for the dynamical cluster size heterogeneity H(t), based on the analytical equations for domain size distributions. We study its temporal evolution and explore its usefulness in studying out of equilibrium situations after driving the system out of equilibrium by a sudden quench in temperature. Our analysis shows that H(t) detects and distinguishes between different time regimes related to the two timescales in the system, namely the short percolative one and the long coarsening one. Besides, we also study a simple statistical model that generates independent domains whose only constraint is to fill the system area. We focus on evaluating the heterogeneity for algebraic distributions and showing that there is an exponent that maximizes the heterogeneity.

Muitos sistemas na natureza estão em constante evolução. Ao contrário de fenômenos em equilíbrio, ou perto do equilíbrio, o comportamento de sistemas fora do equilíbrio é muito menos compreendido. A caracterização geométrica de estruturas comuns para certas classes de dinâmicas fora do equilíbrio, como domínios e hulls, e a sua evolução temporal são importantes para determinar propriedades macroscópicas de muitos sistemas. Por exemplo, considere o problema de ordenamento de fases dinâmico, quando a temperatura do sistema é repentinamente resfriada, levando o sistema de uma fase desordenada para uma ordenada. Após o resfriamento, regiões ordenadas começam a se formar devido à interação entre os spins e ocorre o crescimento de domínios. A morfologia da estrutura dos domínios contém informação sobre as propriedades geométricas do sistema e também guardam informação sobre sua transição de fase. Há diversos sistemas que apresentam crescimento de domínios, com exemplos variando de crescimento de domínios em materiais ferromagnéticos a separação de fase em populações de bactérias. Em particular, apenas recentemente, o papel do ponto crítico de percolação nas propriedades dinâmicas de sistemas de spin 2d após um súbito resfriamento na temperatura foi considerado. Em equilíbrio, é possível separar os efeitos térmicos e percolativos em redes finitas através da heterogeneidade de tamanhos de domínios, Heq(T), uma medida de quão heterogeneos os tamanhos dos domínios são. Nesta tese, apresentamos uma extensão da medida de equilibrío Heq(T) para configurações fora de equilíbrio, através de uma expressão analítica para a heterogeneidade de tamanhos de domínios dinâmica H(t), baseada na solução analítica para a distribuição das aŕeas dos domínios. Estudamos a evolução temporal de H(t) e demonstramos sua utilidade para analisar situações fora de equilíbrio após tirar o sistema de equilíbrio através de uma diminuição súbita na temperatura. Nossa análise mostra que H(t) detecta e distingue entre os diferentes regimes temporais relacionados às duas escalas de tempo do sistema, isto é, à escala curta percolativa e à longa de crescimento de domínios. Além disso, também estudamos um modelo estatístico simples que gera domínios independentes cujo único vínculo é preencher a área do sistema. Focamos em estimar a heterogeneidade para distribuições de probabilidade algébricas e mostramos que há um expoente para a qual a heterogeneidade é maximizada.