Formulação integral e simulações numéricas para a equação do transporte unidimensional

Abstract

Neste trabalho, aplicamos técnicas para obter resultados para o modelo dado pela equação de transporte isotrópica em estado estacionário em um meio participativo com fontes internas e fronteiras semirreflexivas. Do ponto de vista analítico, generalizamos a teoria de existência para soluções no espaço C quando as fontes estão no espaço de funções limitadas. Para obter a solução numérica, escrevemos a equação como uma equação de Fredholm do segundo tipo e aplicamos o método de Nyström com as quadraturas de Boole e Gauss- Legendre. Técnicas analíticas e computacionais foram implementadas para tratar a singularidade do núcleo. Além disso, calculamos os autovalores do problema. Também, aplicamos uma segunda metodologia numérica baseada no método de Nyström Produto, que consiste em calcular uma quadratura numérica específica para o núcleo do transporte que é capaz de absorver a singularidade. Mostramos a eficiência dos métodos propostos através de alguns testes numéricos e comparamos nossos resultados com aqueles que podem ser encontrados na literatura. Ademais, apresentamos comparações entre as duas metologias numéricas desenvolvidas nesse trabalho.

This work, we apply techniques to obtain results for the model given by the isotropic transport equation in steady state in a partipative medium with internal sources and semirefletive boundaries. From the analytical point of view, we generalize the existence theory of solutions in the space of Hölder continuous function C when the sources are in the space of limited functions. To obtain a numerical solution, we write the equation as a Fredholm equation of the second type and we apply Nyström method with Boole’s and Gauss-Legendre quadrature. Analytical and computational techniques were implemented to deal with kernel singularities. In addition, we calculate the eigenvalues of the operator. We also apply a second numerical methodology based on the Nyström Product method, which consists of calculating a specific numerical square for the transport core that is capable of absorbing the singularity. We show the efficiency of the proposed method through some numerical tests and compare our results with those that can be found in the literature. Furthermore, we present comparisons between the two numerical methodologies developed in this work.