Homogeneização da equação de difusão com fluxo não linear e energia limitada em meios microperiódicos

Abstract

O presente trabalho apresenta a aplicação de duas técnicas de homogeneização, comumente utilizadas em problemas sob meio periódico, o Método de Homogeneização Assintótica (MHA) e o Método de Convergência em Duas Escalas (MCDE). Técnicas de homogeneização têm como intuito estudar ou resolver problemas que ocorrem em meios heterogˆeneos, determinísticos ou aleatórios, periódicos ou não. Os fenômenos que ocorrem nestes meios geralmente são descritos por equações diferenciais com coeficientes que variam rapidamente com relação à posição. Em particular, são estudados fenômenos de transporte modelados pela equação da difusão com fluxo linear e não linear, com coeficientes periódicos e que variam na microescala de forma determinística. A escolha das duas técnicas se dá pelas abordagens diferentes e resultados similares, senão idênticos. Na teoria do MHA, o problema linear é bem consolidado pois, além do desenvolvimento, se estima a proximidade entre as soluções exata e homogeneizada, na norma do espaço que elas pertencem, o que justifica matematicamente o método. Para problemas não lineares esta justificativa não está evidente, o que nos motivou a obter a proximidade para um problema difusivo com fluxo não linear. Além disso, é garantida a preservação das propriedades originais do fluxo quando homogeneizado, o que permitiu garantir a existência e unicidade da solução do problema homogeneizado, consequentemente, a existência e unicidade do problema local não linear. Por outro lado, para o MCDE, a teoria é mais consolidada em ambos os casos linear e não linear, isto significa que, além de obter o comportamento efetivo, o processo é justificado matematicamente através do resultado de corretor. Ainda, neste trabalho, se apresenta e aplica uma abordagem, originada da mecânica da fratura, que permite obter resultados realistas quando assumido grandes deformações. Esta abordagem consiste em formular uma expressão da energia de deformação que impõe o amolecimento da relação tensão/deformação. O uso desta abordagem, juntamente aos métodos de homogeneização apresentados neste trabalho, se mostrou possível. Sob as hipóteses de separação de escalas e do contíınuo, podem-se especificar dois usos da homogeneização: a obtenção de uma boa aproximação da solução do problema original e obtenção do comportamento efetivo do meio heterogêneo. Para a primeira, em geral, pelas técnicas aqui apresentadas, se constrói a solução assintótica de primeira ordem u (1), porém, essa aproximação apresenta um erro de ordem ε nas condições de contorno e inicial. Para corrigi-la, é proposta uma abordagem pós métodos de homogeneização, para construir um termo corretivo desses pontos na u (1). Por fim, foram resolvidos quatro exemplos numéricos mediante técnicas numéricas (Método dos Elementos Finitos Clássico, Galerkin Descontínuo e Multiescala; Método da Quadratura Adaptativa; Diferenças Finitas; Método do Ponto Fixo), para ilustrar os resultados apresentados.

The present work presents the application of two homogenization techniques, normally used in problems with periodic medium, the Asymptotic Homogenization Method (MHA) and the Two-Scale Convergence Method (MCDE). Homogenization techniques has as intention to study or solve problems that occur in a heterogeneous environment, deterministic or random, periodic or not. Phenomena which occur in this environment, generally are described by differential equations with quickly oscillate coefficients related to position. In particular, are studied transport phenomena modeled by the diffusion equation with linear and non-linear flow, with periodic coefficients that vary in the microscale in a deterministic way. The choice of the two techniques is due to different approaches and similar, if not identical, results. In MHA theory, the linear problem is well consolidated because, in addition to development, the proximity between the exact and homogenized solutions is estimated, in the norm of the space they belong to, which mathematically justify the method. For non-linear problems, this justification is not evident, which motivated us to obtain proximity to a diffusive problem with a non-linear flow. In addition, is guaranteed the preservation of the original properties of the flow when homogenized, which allow to guarantee the solution existence and unity for the homogenized problem, consequently, the non-linear local problem existence and unity as well. On the other hand, the MCDE theory is more consolidated in linear and non-linear cases, this means that, in addition to obtaining the effective behavior, the process is mathematically justified through the corrector result. Still, in this work, an approach, originated from the mechanic fracture, presented and applied, which allows to obtain realistic results when assumed great strains. This approach consists on formulating an strain energy expression that imposes softness to the stress/strain relationship. This approach with the homogenization methods presented in this work, proved to be possible. Under the assumptions of separation and continuous scale , two uses of homogenization can be specify: to obtain a good approximation of the solution to the original problem and to obtain the effective behavior of the heterogeneous environment. For the first, in general, using the techniques presented here, the asymptotic first order solution u (1) is built, however, this approximation presents an error of order ε in the boundary and initial conditions. To correct it, an approach is proposed after the homogenization methods, to construct a corrective term of these points in u (1). Finally, four numerical examples were solved upon numerical techniques (Classical Finite Element Method, Discontinuous Galerkin and Multiscale; Adaptive Quadrature Method; Finite Differences; Fixed Point Method), to illustrate the results presented.