Jogos evolucionários sobre grafos estrela fechada

Abstract

Este trabalho tem por objetivo investigar a existência de soluções assintoticamente estáveis para os estados estacionários puros (ou pontos de equilíbrio puro) para o modelo matemático que descreve a dinâmica de replicação com jogos representados por grafos com a estrutura de estrela fechada. Estamos especificamente interessados em pontos de equilíbrio puro, pelo fato de não haver na literatura resultados referentes à estabilidade dos mesmos. Os estudos encontrados concentram-se apenas na análise da estabilidade dos pontos de equilíbrio misto, os quais já possuem resultados que mostram que tais pontos não são assintoticamente estáveis para esses jogos que são representados por redes arbitrárias de conexões sem self-edges (laços). Utilizando-se do modelo matemático de replicação associado à dinâmica do jogo representado por um grafo qualquer, juntamente com a teoria dos jogos evolucionários, foi analisado o comportamento assintótico dos pontos de equilíbrio obtidos para os grafos estudados neste trabalho. O conjunto de experimentos numéricos tornou possível conjecturar e provar a existência e unicidade dos pontos assintoticamente estáveis, considerando os diferentes tipos de jogos associados a estrutura do grafo estrela fechada e também no que tange a forma como cada jogador recebe a sua recompensa.

This work aims to investigate the existence of asymptotically stable solutions for pure steady states (or pure equilibrium points) for the mathematical model that describes the replicator dynamics with games represented by graphs with the Closed Star structure. We are speci cally interested in pure equilibrium points, because there are no results in the literature regarding their stability. The studies found concentrate only on the stability analysis of the mixed equilibrium points, which already have results that show that such points are not asymptotically stable for these games that are represented by arbitrary networks of connections without self-edges. Using the mathematical model of associated to the replicator equation with the dynamics of the game represented by any graph, together with the theory of evolutionary games, we analyzed the asymptotic behavior of the equilibrium points obtained for the graphs studied in this work. The set of numerical experiments made it possible to conjecture and prove the existence and uniqueness of the asymptotically stable points, considering the di erent types of games associated with the closed star graph structure and also with respect to the way each player receives his payo.