Otimização evolucionária e topológica em problemas governados pela equação de Poisson empregando o método dos elementos de contorno

Abstract

Este trabalho apresenta o desenvolvimento e implementação computacional de técnicas de otimização de topologia para problemas governados pela equação de Poisson. O método numérico utilizado para solução numérica das equações foi o método dos elementos de contorno (MEC). Para tanto, três metodologias foram desenvolvidas. A primeira é direcionada à aplicação de algoritmos genéticos (AG) para investigar como um domínio inicialmente preenchido com cavidades aleatórias evolui durante um processo de otimização e verificar a possibilidade de se extrair topologias ótimas a partir da interpretação da solução encontrada. Os contornos externos permanecem fixos enquanto as posições e as dimensões das cavidades são otimizadas com o objetivo extremizar uma função custo especificada. O desempenho do algoritmo proposto é ilustrada com uma série de exemplos e os resultados são discutidos. A segunda metodologia apresenta um algoritmo numérico para otimização topológica baseado na avaliação da derivada topológica (DT), adotando a energia potencial total como função custo. Este procedimento é uma alternativa às tradicionais técnicas de otimização, evitando assim soluções de projeto com densidade de material intermediária. Sólidos com comportamento anisotrópico são estudados sob condições de contorno de Robin, Neumann e Dirichlet. Uma transformação linear de coordenadas é utilizada para mapear o problema original e suas condições de contorno para um novo domínio equivalente isotrópico, onde o procedimento de otimização é aplicado. A solução otimizada é então transformada de volta ao domínio original. A metodologia proposta mostrou-se particularmente atrativa para resolver esta classe de problemas já que o MEC dispensa o uso de malha no domínio, reduzindo significantemente o custo computacional. Na última parte deste trabalho foi implementada uma formulação de sensibilidade topológica para problemas de otimização de transferência de calor e massa simultâneos. Como as sensibilidades para cada equação diferencial são diferentes, utiliza-se um coeficiente de ponderação para compor a sensibilidade do problema acoplado. Isto permite a imposição de distintos fatores para cada problema, de acordo com uma prioridade especificada. Diversos exemplos são apresentados e seus resultados comparados com os da literatura, quando disponíveis, a fim de validar as formulações propostas.

This work presents the computational development and implementation of topology optimization techniques for problems governed by the Poisson equation. The boundary element method was the numerical technique chosen to solve the equations. Three different methodologies were developed aiming this objective. The first methodology is directed to the application of genetic algorithms to investigate how a domain previously populated with randomly placed cavities evolves during the optimization process, and to verify the resemblance of the final solution with a optimal design. The external boundaries remain fixed during the process, while the location and dimension of the cavities are optimized in order to extremize a given cost function. The performance of the proposed algorithm is verified with a number of examples and the results are discussed. The second methodology presents a numerical algorithm for topology optimization based on the evaluation of topological derivatives, using the total potential energy as the cost function. This procedure is an alternative to the traditional optimization techniques, avoiding design solutions containing intermediary material densities. Solids with anisotropic constitutive behavior are studied under Robin, Neumann and Dirichlet boundary conditions. A linear coordinate transformation approach is used to map the original problem into an isotropic one, where the optimization is carried out. The final solution is then mapped back to the original coordinate system. The proposed method was found to be an attractive way to solve this class of problems, since no interior mesh is necessary, which reduces significantly the computational cost of the analysis. In the last part of the present work the topological derivative approach was further developed to deal with the optimization of problems under simultaneous heat and mass transfer. Since the sensitivities for each differential equation are different, a weighting factor was used to evaluate the final sensitivities of the coupled problem. This allows the imposition of different priorities for each problem Several examples are presented and their results are compared with the literature, when available, in order to validate the proposed formulations.