Análise de erros de métodos discretos para problemas de contorno em malhas arbitrárias

Abstract

Neste trabalho, examinamos detalhadamente um procedimento de análise, introduzido em [21] e desenvolvido em [11] e [18], para a investigação dos erros em malhas arbitrárias, decorrentes de métodos discretos (diferenças finitas e elementos finitos) de segunda ordem para problemas de Sturm-Liouville regulares, com condições de contorno tipo Dirichlet, Neumann ou Robin (ou combinações destas). Esta análise nos permite obter estimativas finas sobre erros de solução e derivadas de primeira e segunda ordens. Aplicamos o procedimento em detalhe para o exame do método mimético discutido em [21] e do método de elementos finitos considerado em [18] e [11] (método de Galerkin com elementos seccionalmente lineares). Em particular, fenômenos de supraconvergência em ambos os métodos são observados e explicados facilmente a partir das estimativas desenvolvidas.

In the present work, we give a detailed discussion of the errar analysis intraduced in [21], and further developed in [11] and [18], of 2nd-order discrete methods (both finite-difference and finite element methods are considered here) for one-dimensional Sturm- Liouville problems with separated boundary conditions of Dirichlet, Neumann, or Robin type (or combinations of these). Such an analysis yields very precise estimates for both solution and derivative errors in the approximations. Application is given to the analysis of the mimetic method discussed in [21], and the standard 2nd-order Galerkin method [18], [11] with piecewise linear elements. In particular, supraconvergence effects are clearly explained based on the estimates obtained by the theory.