Implementação de técnicas de suavização de resultados para elementos de contorno descontínuos

Abstract

O presente trabalho desenvolve o estudo de implementação de uma técnica de suavização de resultados para elementos de contorno descontínuos para elasticidade bidimensional. Além disso, propõe-se uma nova metodologia para o cálculo da componente tangencial de tensão nesses mesmos elementos. A utilização de elementos descontínuos no método dos elementos de contorno (MEC) fornece resultados descontínuos para as variáveis do problema de um elemento para outro. A definição do valor de uma variável na interface entre dois elementos ou mesmo nos extremos de um segmento de contorno se torna um problema. Uma técnica capaz de obter resultados contínuos (suavização) é implementada para elementos lineares e quadráticos. A metodologia é desenvolvida a partir da recuperação de valores nos nós geométricos entre elementos, a qual se baseia em aproximações por mínimos quadrados dos valores originais nos nós físicos. Essas aproximações são realizadas a cada grupo de dois elementos (patches) e, dessa maneira, o valor de qualquer variável (deslocamentos ou tensões) no nó geométrico compartilhado pelo grupo pode ser recuperado. Novas soluções com o mesmo grau de interpolação das soluções originais são obtidas em cada elemento a partir desses valores recuperados e, conseqüentemente, uma solução contínua é obtida. A obtenção de resultados não contínuos e de menor precisão para a componente tangencial de tensão, a qual é normalmente pós-processada no MEC, é comum a elementos contínuos e descontínuos. Desse modo, uma nova proposta de cálculo dessa componente é desenvolvida para elementos descontínuos lineares e quadráticos. A utilização da lei de Hooke na sua forma padrão utiliza funções com graus de interpolação diferentes, pois a componente tangencial de deformação é obtida a partir da derivada das funções de interpolação de deslocamento. Assim, a técnica se baseia na utilização de um número menor de pontos com convergência mais elevada na utilização da lei de Hooke. A eficiência e capacidade das ferramentas propostas no trabalho são verificadas pela resolução de problemas estáticos de elasticidade com elementos lineares e quadráticos, para diferentes geometrias e condições de contorno.

This work presents a study on the implementation of a technique to obtain smoothed results for discontinuous boundary elements in two-dimensional elasticity. A new methodology for the evaluation of the tangential component of stress in these elements is also proposed. The use of discontinuous elements in the boundary element method (BEM) generates discontinuous inter-element results for the variables of the problem. Then the recovery of the value of a variable along the interface between two elements becomes cumbersome. A technique to obtain continuous (smoothed) results is implemented for linear and quadratic elements. The methodology is developed for the recovery of values in the geometric nodes between elements, which is based on least-square approximations of the original values in the physical nodes. These approximations are made for each patch of two elements, and then the value of any variable (displacements or stress) in the geometric node shared in this patch can be recovered. New solutions with the same degree of interpolation of the original solutions are obtained in each element from these recovered values and therefore a continuous solution is obtained. The evaluation of discontinuous and consequently less accurate results for the tangential component of stress is a common post-processing step in BEM, for both continuous and discontinuous elements. Thus, a new proposal for calculating this component is developed for linear and quadratic discontinuous elements. The conventional application of the Hooke's law uses functions with different degrees of interpolation, as the tangential component of strain is obtained from the derivative of the displacement interpolation functions. Therefore, the proposed technique is based on the use of a smaller number of sample points with higher accuracy. The performance and capabilities of the devised tool are verified by the solution of twodimensional elasticity static problems using linear and quadratic boundary elements, for various geometry and boundary conditions.