Implementação numérica de problemas de viscoelasticidade finita utilizando métodos de Runge-Kutta de altas ordens e interpolação consistente entre as discretizações temporal e espacial

Abstract

Em problemas de viscoelasticidade computacional, a discretização espacial para a solução global das equações de equilíbrio é acoplada à discretização temporal para a solução de um problema de valor inicial local do fluxo viscoelástico. É demonstrado que este acoplamento espacial-temporal (ou global-local) éconsistente se o tensor de deformação total, agindo como elemento acoplador, tem uma aproximação de ordem p ao longo do tempo igual à ordem de convergência do método de integração de Runge-Kutta (RK). Para a interpolação da deformação foram utilizados polinômios baseados em soluções obtidas nos tempos tn+1, tn, . . ., tn+2−p, p ≥ 2, fornecendo dados consistentes de deformação nos estágios do RK. Em uma situação onde tal regra para a interpolação da deformação não é satisfeita, a integração no tempo apresentará, consequentemente, redução de ordem, baixa precisão e, por conseguinte, eficiência inferior. Em termos gerais, o propósito é generalizar esta condição de consistência proposta pela literatura, formalizando-a matematicamente e o demonstrando através da utilização de métodos de Runge-Kutta diagonalmente implícitos (DIRK) até ordem p = 4, aplicados a modelos viscoelásticos não-lineares sujeitos a deformações finitas. Através de exemplos numéricos, os algoritmos de integração temporal adaptados apresentaram ordem de convergência nominal e, portanto, comprovam a validade da formalização do conceito de interpolação consistente da deformação. Comparado com o método de integração de Euler implícito, é demonstrado que os métodos DIRK aqui aplicados apresentam um ganho considerável em eficiência, comprovado através dos fatores de aceleração atingidos.

In computational viscoelasticity, spatial discretization for the solution of the weak form of the balance of linear momentum is coupled to the temporal discretization for solving a local initial value problem (IVP) of the viscoelastic flow. It is shown that this spatial- temporal (or global-local) coupling is consistent if the total strain tensor, acting as the coupling agent, exhibits the same approximation of order p in time as the convergence order of the Runge-Kutta (RK) integration algorithm. To this end we construct interpolation polynomials based on data at tn+1, tn, . . ., tn+2−p, p ≥ 2, which provide consistent strain data at the RK stages. If this novel rule for strain interpolation is not satisfied, time integration shows order reduction, poor accuracy and therefore less efficiency. Generally, the objective is to propose a generalization of this consistency idea proposed in the literature, formalizing it mathematically and testing it using diagonally implicit Runge-Kutta methods (DIRK) up to order p = 4 applied to a nonlinear viscoelasticity model subjected to finite strain. In a set of numerical examples, the adapted time integrators obtain full convergence order and thus approve the novel concept of consistency. Substantially high speed-up factors confirm the improvement in the efficiency compared with Backward Euler algorithm.