Comparação entre dois métodos de solução para o oscilador harmônico quântico dependente do tempo

Abstract

Neste trabalho, a Equação de Schrödinger foi resolvida para o oscilador harmônico dependente do tempo(OHDT) com intuito de analisar os observáveis dosistema e as probabilidadesde transição de estado. Ainda, seguindo a linha do grupo de pesquisa ao qual o trabalho está vinculado, deseja-se relacionar os resultados com o transporte nos canais iônicos a fim de apontar possível presença de tunelamento. Dessa forma, foram utilizadas duas abordagens numéricas, sendo elas o método algébrico e o método de Crank-Nicolson. Através desses métodos, foram desenvolvidas as equações necessárias para aplicação em algoritmos computacionais escritos em Python e gerados gráficos com os resultados obtidos. Nos resultados foram analisadas principalmente as relações entre a variância da quadratura, a energia do sistema e as probabilidades de transição para três osciladores harmônicos com dependências temporais distintas. Comparando as metodologias, verificou-se uma maior estabilidade no método algébrico, que já era esperada inicialmente. Além disso, observou-se a presença de squeezing nos resultados, característica intrínseca de potenciais como o OHDT. Concluiu-se que é possível a presença de tunelamento em canais iônicos modelados através do potencial perturbado, visto que os resultados estão de acordo com a literatura no sentido de que algumas perturbações favorecem o transporte nos canais. No caso de menor perturbação, observou-se que o sistema não apresenta squeezing persistente, pois a variância ficou acima do limite dos estados coerentes. No entanto, foi justamente nesse regime que as probabilidades de transição para estados de altas energias são máximas. Fisicamente, isso implica que a partícula ganha energia suficiente para que a função de onda se estenda espacialmente, aumentando a probabilidade de presença nas regiões classicamente proibidas. Portanto, favorecendo o tunelamento mesmo na ausência de squeezing.

In this work, the Schrödinger equation was solved for the time-dependent harmonic oscillator (TDHO) to analyze the system’s observables and state transition probabilities. Furthermore, following the research line of the group to which this study is linked, the goal is to relate the results to transport in ion channels to point out the possible presence of quantum tunneling. Thus, two numerical approaches were used: the algebraic method and the Crank-Nicolson method. Through these methods, the necessary equations were developed for application in computational algorithms written in Python, and graphs were generated with the results obtained. The results mainly analyzed the relationships between the quadrature variance, the system’s energy, and the transition probabilities for three harmonic oscillators with distinct time dependencies. Comparing the methodologies, greater stability was verified in the algebraic method, which was initially expected. Moreover, the presence of squeezing was observed in the results, an intrinsic characteristic of potentials such as the TDHO. It was concluded that the presence of tunneling is possible in ion channels modeled through the perturbed potential, given that the results are in agreement with the literature in the sense that certain perturbations favor transport in the channels. In the case of the smallest perturbation, it was observed that the system does not exhibit persistent squeezing, as the variance remained above the coherent state limit. However, it was precisely in this regime that the transition probabilities to high-energy states were maximal. Physically, this implies that the particle gains enough energy for the wave function to extend spatially, increasing the probability of presence in classically forbidden regions. Therefore, favoring tunneling even in the absence of squeezing.