A equação da onda dissipativa : fenômeno da difusão e modelos semilineares

Abstract

A equação da onda dissipativa forma um modelo para a descrição de fenômenos propagativos sujeitos à perda de energia. Embora preserve a velocidade finita de propagação característica das equações hiperbólicas, esse modelo apresenta, para tempos suficientemente grandes, comportamento assintótico semelhante ao da equação do calor, propriedade conhecida como fenômeno da difusão. Neste trabalho, investiga-se propriedades qualitativas das soluções da equação do calor e da equação da onda dissipativa, tanto em sua forma linear quanto em modelos semilineares com não linearidade de fonte. Inicialmente, são apresentadas representações das soluções por meio da transformada de Fourier e obtidas estimativas de seu decaimento e de suas derivadas. Em seguida, demonstra-se o fenômeno da difusão para a equação da onda dissipativa, verificando que suas soluções aproximam-se assintoticamente das soluções de um problema de Cauchy correspondente para a equação do calor. Por fim, estudam-se modelos semilineares, abordando resultados clássicos de existência global, explosão em tempo finito das soluções e o papel do expoente crítico de Fujita, que caracteriza a transição entre esses regimes de comportamento.