Fractais no GeoGebra: entre o objeto matemático e suas representações na exploração do Triângulo de Sierpinski

Abstract

Este artigo tem como objetivo discutir como pode se configurar a distinção entre o objeto matemático e suas representações em uma proposta de exploração de fractais no GeoGebra. O referencial teórico contempla a teoria dos registros de representação semiótica de Raymond Duval, além de escritos que tratam das potencialidades dos ambientes de geometria dinâmica no desenvolvimento de abordagens voltadas à transformação de representações semióticas, que, nessa perspectiva, se apresenta como um processo central na análise da atividade matemática. Por meio de dados coletados em um experimento realizado junto um grupo de estudantes do sétimo ano Ensino Fundamental, são apresentados exemplos que ilustram como se desenvolvem as atividades cognitivas fundamentais de tratamento e conversão na construção de um fractal clássico, o Triângulo de Sierpinski. A metodologia contempla uma abordagem qualitativa, com dados coletados por meio de atividades no GeoGebra, vídeos dos encontros com os participantes, notas de campo e protocolos de observação, com intervenções orientadas no método clínico de Jean Piaget. Os resultados apontam que, durante as explorações, os sujeitos mobilizaram diferentes tipos de registros de representação e passaram a considerar a ideia de um objeto cuja construção pode continuar infinitamente, com iterações sucessivas. Além disso, identificaram padrões que se repetem em escalas cada vez menores, com uma estrutura básica que se mantém, independentemente do nível de ampliação. Dessa forma, observou-se o início de um processo de construção do objeto geométrico, neste estudo representado pelo Triângulo de Sierpinski.

This article aims to discuss how the distinction between the mathematical object and its representations can be configured in a proposal to explore fractals in GeoGebra. The theoretical framework includes Raymond Duval's theory of semiotic representation records, in addition to writings that deal with the potential of dynamic geometry environments in the development of approaches aimed at transforming semiotic representations, which, from this perspective, presents itself as a central process in analysis of mathematical activity. Using data collected in an experiment carried out with a group of seventh-year elementary school students, examples are presented that illustrate how the fundamental cognitive activities of treatment and conversion are developed in the construction of a classic fractal, the Sierpinski Triangle. The methodology includes a qualitative approach, with data collected through activities in GeoGebra, videos of meetings with participants, field notes and observation protocols, with interventions guided by Jean Piaget's clinical method. The results indicate that, during the explorations, the subjects mobilized different types of representation records and began to consider the idea of an object whose construction can continue infinitely, with successive iterations. Furthermore, they identified patterns that repeat themselves on increasingly smaller scales, with a basic structure that remains, regardless of the level of magnification. In this way, the beginning of a process of construction of the geometric object was observed, in this study represented by the Sierpinski Triangle.