Métodos perturbativos para o estudo da dinâmica não linear de uma partícula

Abstract

Compreender e aplicar diferentes técnicas perturbativas para a análise da dinâmica não linear de uma partícula é uma importante questão na busca por melhor entender modelos simples dinâmicos. Nesse trabalho vamos considerar um modelo simples para a dinâmica de uma partícula sujeita a uma perturbação periódica, cuja equação de movimento é dada por θ(w,t) = −Acos(wt )sin(θ ) , onde A << 1 e w são, respectivamente, a amplitude e frequência da perturbação e − π ≤ θ(w,t ) ≤ π é uma variável angular. Esse pode ser visto como um modelo simples para a dinâmica de partículas sujeitas a ondas estacionárias em fluidos ou plasmas. Apesar da simplicidade do sistema não perturbado (quando A = 0 ), ele é não linear, tendo frequências naturais de oscilação que variam de zero a infinito dependendo da energia inicial da partícula. Portanto, ao ligar-se a perturbação com frequência determinada, haverá trajetórias ressonantes e outras fora de ressonância. Exploraremos as diferentes técnicas perturbativas para analisar a dinâmica em cada um desses casos, procurando descrever a dinâmica em todo o espaço de fases. Os resultados analíticos serão então confrontados com a solução numérica da equação de movimento.

Understand and apply different perturbative techniques for the analysis of nonlinear dynamics of a particle is an important issue in the search for better understanding of simple models dynamic. In this paper we consider a simple model for the dynamics of a particle subject to a periodic perturbation, whose equation of motion is given by θ(w,t) = −Acos(wt )sin(θ ) , where A << 1 and w are respectively the amplitude and frequency of the perturbation and − π ≤ θ(w,t ) ≤ π is an angular variable. This can be seen as a simple model for the dynamic particles subjected to standing waves in fluids or plasma. Despite the simplicity of the not perturbed system, he is non-linear, with natural frequencies of oscillation varying from zero to infinity depending on the initial energy of the particle. Therefore, when switching on the perturbation with determined frequency, there will be resonant trajectories and other offresonance. We will explore the different perturbative techniques to analyze the dynamics in each of these cases, trying to describe the dynamics in the whole phase space. The analytical results are then faced with the numerical solution of the equation of motion.