Diagrama de fases da propagação de epidemias em redes esparsas dirigidas

Abstract

Muitos problemas na física, na biologia e em outras áreas de estudo são descritos por redes de componentes que interagem entre si. Em particular, o uso de redes na descrição da propagação de epidemias é muito útil, visto que elas modelam os contatos entre indivíduos e tornam os modelos mais realistas. Um dos modelos epidemiológicos mais simples é o modelo SIS (suscetível-infectado-suscetível), onde cada indivíduo pode estar apenas suscetível à doença ou infectado por ela. O limiar epidêmico que separa as fases ativa (com epidemia) e absorvente (sem epidemia) do modelo é dado por λc = 1/Λ1, onde Λ1 é o maior autovalor da matriz de adjacência da rede. Em redes não dirigidas, em geral Λ1 cresce com o tamanho do sistema, de modo que no limite termodinâmico o limiar epidêmico é nulo e o modelo não apresenta transição de fase. Por outro lado, em redes esparsas dirigidas Λ1 é conhecido analiticamente no limite termodinâmico e tem um valor finito, de forma que, nesse caso, o modelo apresenta transição de fase. Com isso em vista, estudamos neste trabalho os estados estacionários, a dinâmica e a transição de fase do modelo SIS em redes esparsas dirigidas, onde o número de conexões entre indivíduos é sorteado de uma distribuição de probabilidade pk, e as intensidades dessas conexões, de uma distribuição pJ . Por meio de diferentes técnicas, determinamos o limiar epidêmico e construímos o diagrama de fases do modelo em termos dos parâmetros que descrevem a estrutura da rede. Mostramos que a transição de fase é independente da distribuição de grau pk, e quando o espectro da matriz de adjacência da rede apresenta um autovalor isolado, a transição é também independente de pJ. Quando não há um autovalor isolado, a linha crítica depende da forma funcional de pJ : no caso em que pJ segue a distribuição gama, o valor crítico do grau médio c aumenta com o desvio padrão σJ de pJ . Quando pJ segue a distribuição de Pareto, por outro lado, a linha crítica é independente de σJ . Próximo à transição de fase, espera-se que o sistema seja bem descrito pelo autovetor principal da matriz de adjacência. Assim, medimos a localização da distribuição das probabilidades de infecção, no caso em que pJ é distribuído conforme a distribuição gama, e comparamos com a localização do autovetor principal. Na região em que o autovetor é localizado, próximo à linha crítica a medida da localização da epidemia torna-se muito grande, mas o sistema não se torna verdadeiramente localizado. A diferença observada pode ser devida a efeitos de tamanho finito, mas essa hipótese ainda está sendo testada. Na sequência, estudamos a dinâmica do modelo e determinamos o expoente dinâmico da relaxação associado à transição, na região em que a matriz de adjacência apresenta um autovalor isolado. Por fim, comparamos os resultados do modelo de campo médio considerado com simulações estocásticas da epidemia. Mostramos que a teoria acerta qualitativamente em prever que o ponto crítico de transição de fase é independente da distribuição de grau pk. Contudo, o acordo quantitativo entre teoria e simulação ocorre apenas para valores grandes de c e pequenos de σJ , onde a rede torna-se mais conectada e as flutuações na intensidade dos acoplamentos é pequena.

A great number of problems in physics, biology and other fields is described by networks of interacting components. In particular, the use of networks is very useful for epidemic spreading models, since they describe the contacts among individuals and make these models more realistic. One of the simplest epidemic spreading models is the SIS (susceptible-infected-susceptible) model, where each individual is either susceptible to the disease or infected by it. The epidemic threshold that separates the active (endemic) and absorbing (healthy) phases of the model is given by λc = 1/Λ1, where Λ1 is the leading eigenvalue of the network’s adjacency matrix. In undirected networks, Λ1 scales with system size in general, thus the epidemic threshold is zero in the thermodynamic limit and the model does not present a phase transition. In sparse directed networks, however, Λ1 is analytically known in the thermodynamic limit and has a nonzero value; thus, in this case, the model presents a phase transition. In light of this, in this work we study the stationary states, the dynamics and the phase transition of the SIS model in sparse directed networks, where the number of connections between individuals is sampled from a probability distribution pk, and the weights of these connections are sampled from another distribution pJ . Using different methods, we determine the epidemic threshold and construct the phase diagram of the model as a function of the parameters used to describe the network structure. We show that the phase transition is independent of the degree distribution pk, and when there is an outlier eigenvalue in the spectrum of the adjacency matrix, the phase transition is also independent of pJ . When there is no outlier eigenvalue, the critical line depends on the functional form of pJ : when pJ is Gamma-distributed, the critical value of the mean degree c increases with the standard deviation σJ of pJ . On the other hand, when pJ is Pareto-distributed, the critical line is independent of σJ . Furthermore, near the transition it is expected that the system is well approximated by the principal eigenvector of the adjacency matrix. Thus, we measure the localization of the distribution of infection probabilities, in the case when pJ is Gamma-distributed, and compare it with the localization of the principal eigenvector. In the region where the eigenvector is localized, near the critical line the measure of the epidemic localization becomes very high, but the system does not become truly localized. The observed difference may be explained by finite-size effects, but this hypothesis is still being tested. Following this, we study the dynamics of the model and determine the dynamical exponent of relaxation associated with the transition when there is an outlier eigenvalue. Finally, we compare the results for the mean-field model with results from stochastic simulations of the epidemic. We show that the theory predicts correctly that the critical point is independent of the choice of the degree distribution pk. However, there is a quantitative agreement between theory and simulation only for high values of c and low values of σJ , a regime where the network is more connected and the intensity of the couplings have small fluctuations.