Thermodynamic formalism for jump processes and diffusions

Abstract

Neste trabalho, generalizamos alguns conceitos de formalismo termodinâmico já conhecidos em casos mais simples, para dois tipos de processos de Markov a tempo contínuo: processos de salto e difusões, ambos com espaço de estados compacto. Para embasar esses estudos, foi necessário reorganizar e desenvolver alguns pontos da teoria de processos de Markov, o que fizemos no primeiro capítulo desta tese, com foco nos processos de salto. Para estes dois tipos de processos de Markov, utilizando um potencial V fixado, definimos o operador de Ruelle e o normalizamos, de modo a obter o processo de Gibbs e a respectiva probabilidade de Gibbs associada. Finalmente, fomos capazes de mostrar que o processo de Gibbs é o estado de equilíbrio que maximiza um problema variacional para a pressão.

In this work, we generalize some concepts of thermodynamic formalism already known for simpler cases, for two types of continuous-time Markov processes: jump processes and diffusions, both with compact state space. To support these studies, it was necessary to reorganize and develop some points of the Markov process theory, which we made in the first chapter of this thesis, focusing on jump processes. For this two types of Markov processes, using a fixed potential V , we define the Ruelle operator and normalize it, getting the Gibbs process and its respective Gibbs probability associated. Finally, we were able to show that the Gibbs process is the equilibrium state that maximizes a variational problem for the pressure.