Dinâmica quântica do Modelo de Heisenberg

Abstract

Neste trabalho a dinâmica de cadeias de spin unidimensionais descritas pelo modelo de Heisenberg é estudada para diferentes situações físicas. Na primeira parte, o Hamiltoniano de Heisenberg homogêneo e isotrópico é analisado do ponto de vista da magnetização e fidelidade do sistema emconfigurações de 2, 3 e 9 partículas. Este estudo preliminar serve de base para a exposição dos procedimentos de diagonalização exata usados na descrição dos sistemas apresentados. Os resultados teóricos obtidos são comparados com resultados do método numérico de Crank-Nicolson de forma a ratificar sua validade. Na segunda parte, dois tipos de dependências temporais na forma de potenciais periódicos ou de driving e uma anisotropia relacionada a interações do tipo Ising são adicionadas ao Hamiltoniano e sua dinâmica é estudada para cada tipo de driving considerado. Para diagonalizar exatamente este tipo de Hamiltoniano, o método de Floquet é introduzido, fornecendo uma base dependente do tempo usada para expressar a função de onda do sistema. Os potenciais tratados são uma oscilação do coeficiente de troca central da cadeia numa configuração de 4 partículas e o pulso de rotação numa configuração de 5 partículas. O primeiro potencial de driving foi escolhido para o estudo do problema da impureza e o pulso de rotação foi escolhido por ter sido usado na discussão de cristais temporais. Ao final deste trabalho, são mencionadas possíveis extensões deste estudo.

In this work the dynamics of one-dimensional quantumspin chains described by the Heisenbergmodel is studied for different physical situations. In the first part the homogeneous and isotropicHeisenbergHamiltonian is analyzed from the magnetization and system’s fidelity point of view for configurations of 2, 3 and 9 particles. This preliminary study serves as basis for the exposition of the exact diagonalization procedures used in the description of the presented systems. The theoretical results obtained are compared with the ones that came from the numeric Crank-Nicolsonmethod as a way to confirmthey are valid. In the second part two types of time dependencies under the formof periodic driving potentials and an anisotropy related to Ising interactions are added to the Hamiltonian and its dynamics is studied for each type of driving considered. In order to exactly diagonalize this type of Hamiltonian, the Floquet method is introduced, providing a time dependent base used to express the system’s wave function. The potentials treated are an oscillation of the chain’s central exchange coefficient for a configuration of 4 particles and the rotation pulse for a configuration of 5 particles. The first driving potential is chosen for the study of the impurity problem and the rotation pulse is chosen because of its usage in the discussion of time crystals. At the end of this work, it is mentioned some remarks about possible extensions of this study.