Graphical models and point set matching

Abstract

Point pattern matching in Euclidean Spaces is one of the fundamental problems in Pattern Recognition, having applications ranging from Computer Vision to Computational Chemistry. Whenever two complex patterns are encoded by two sets of points identifying their key features, their comparison can be seen as a point pattern matching problem. This work proposes a single approach to both exact and inexact point set matching in Euclidean Spaces of arbitrary dimension. In the case of exact matching, it is assured to find an optimal solution. For inexact matching (when noise is involved), experimental results confirm the validity of the approach. We start by regarding point pattern matching as a weighted graph matching problem. We then formulate the weighted graph matching problem as one of Bayesian inference in a probabilistic graphical model. By exploiting the existence of fundamental constraints in patterns embedded in Euclidean Spaces, we prove that for exact point set matching a simple graphical model is equivalent to the full model. It is possible to show that exact probabilistic inference in this simple model has polynomial time complexity with respect to the number of elements in the patterns to be matched. This gives rise to a technique that for exact matching provably finds a global optimum in polynomial time for any dimensionality of the underlying Euclidean Space. Computational experiments comparing this technique with well-known probabilistic relaxation labeling show significant performance improvement for inexact matching. The proposed approach is significantly more robust under augmentation of the sizes of the involved patterns. In the absence of noise, the results are always perfect.

Casamento de padrões de pontos em Espaços Euclidianos é um dos problemas fundamentais em reconhecimento de padrões, tendo aplicações que vão desde Visão Computacional até Química Computacional. Sempre que dois padrões complexos estão codi- ficados em termos de dois conjuntos de pontos que identificam suas características fundamentais, sua comparação pode ser vista como um problema de casamento de padrões de pontos. Este trabalho propõe uma abordagem unificada para os problemas de casamento exato e inexato de padrões de pontos em Espaços Euclidianos de dimensão arbitrária. No caso de casamento exato, é garantida a obtenção de uma solução ótima. Para casamento inexato (quando ruído está presente), resultados experimentais confirmam a validade da abordagem. Inicialmente, considera-se o problema de casamento de padrões de pontos como um problema de casamento de grafos ponderados. O problema de casamento de grafos ponderados é então formulado como um problema de inferência Bayesiana em um modelo gráfico probabilístico. Ao explorar certos vínculos fundamentais existentes em padrões de pontos imersos em Espaços Euclidianos, provamos que, para o casamento exato de padrões de pontos, um modelo gráfico simples é equivalente ao modelo completo. É possível mostrar que inferência probabilística exata neste modelo simples tem complexidade polinomial para qualquer dimensionalidade do Espaço Euclidiano em consideração. Experimentos computacionais comparando esta técnica com a bem conhecida baseada em relaxamento probabilístico evidenciam uma melhora significativa de desempenho para casamento inexato de padrões de pontos. A abordagem proposta é signi- ficativamente mais robusta diante do aumento do tamanho dos padrões envolvidos. Na ausência de ruído, os resultados são sempre perfeitos.