Ondas planas e modais em sistemas distribuídos elétricos e mecânicos

Abstract

Neste trabalho, são caracterizadas as soluções do tipo ondas planas e modais de modelos matemáticos referentes à teoria de linhas de transmissão, com e sem perdas, e à teoria de vigas, modelo de Timoshenko e modelo não local de Eringen. Os modelos são formulados matricialmente, e as ondas em questão são determinadas em termos da base gerada pela resposta matricial fundamental de sistemas de equações diferenciais ordinárias de primeira, segunda e quarta ordem. A resposta matricial fundamental é utilizada numa forma fechada que envolve o acoplamento de um número finito de matrizes e uma função escalar geradora e suas derivadas. A função escalar geradora é bem comportada para mudanças em torno de frequências críticas e sua robustez é exibida através da técnica de Liouville. As ondas modais são decompostas em termos de uma parte que viaja para frente e uma parte que viaja para trás. Essa decomposição é utilizada para fornecer matrizes de reflexão e transmissão em descontinuidades e condições de contorno. No contexto das linhas de transmissão são consideradas uma junção de linhas com impedâncias características diferentes ou uma carga em uma extremidade da linha. Na teoria de Timoshenko são consideradas uma fissura ou condições de contorno em uma das extremidades. Exemplos numéricos com descontinuidade são considerados na viga. Na teoria de linhas de transmissão exemplos com multicondutores são considerados e observações são realizadas sobre a decomposição das ondas modais. No modelo não local de Eringen, para vigas bi-apoiadas é discutida a existência do segundo espectro de frequências.

Plane type solutions and modal waves of mathematical models, which refer to transmission lines theory, both lossless and lossy, and to beam theory, using both Timoshenko and nonlocal Eringen models, are being characterized in this work. The models are formulated in matrix form, and the waves are determined in terms of matrix basis generated by fundamental matrix response of systems of ordinary differential equations of first, second and fourth order. The fundamental matrix response is used in the closed-form, which involve the coupling between a number finite of matrices of a generating scalar function and its derivatives. The generating scalar function is well behaved for changes around critical frequencies and its robustness is exhibited through the Liouville technique. Modal waves are decomposed in forward and backward parts. This decomposition is used for providing reflection and transmission matrices when dealing with discontinuities and boundary conditions. In the context of transmission lines junction of lines with different characteristic impedances or a load at one end of the line are being considered. In Timoshenko’s theory the crack problem or boundary conditions at one end are also being considered. Numerical examples with discontinuities are considered in the context of beams. Numerical examples with discontinuities and boundary value problems were approached using modal wave decomposition. In transmission line theory examples with multiconductors are considered and observations are made about decomposition of the modal waves. In the nonlocal of Eringen model, for bi-supported beams, the existence of the second frequency spectrum is discussed.