Representando o espaço em uma folha de papel ou na tela de um computador : um estudo sobre a perspectiva cônica através do software GeoGebra

Abstract

Vivemos em um espaço tridimensional. Nesse espaço tudo possui três dimensões, até mesmo a folha de papel mais fina que possamos encontrar. Ao mesmo tempo, lidamos com figuras bidimensionais a todo o momento, inclusive em situações práticas, como o cálculo da área de uma superfície retangular, por exemplo. Estas figuras são abstrações existentes apenas em nossa imaginação. Um quadrado não existe fora do pensamento, assim como a reta, o ponto, o triângulo e qualquer outra figura não-tridimensional. Todos estes elementos são conceitos pertencentes ao mundo das ideias. Todavia, nos deparamos com um problema prático que nos força a buscar relações entre o que vemos e podemos tocar e aquilo que podemos apenas imaginar: como representar em uma superfície plana, como a de uma folha de papel, um objeto tridimensional, como um cubo, uma caixa ou uma casa? Este problema foi apresentado e discutido com o grupo de alunos participante da pesquisa, que passaram a criar estratégias para solucionar a questão buscando compreender as relações geométricas que permitiriam tal representação. Os alunos iniciaram a investigação a partir de desenhos à mão livre, obras de arte de pintores renascentistas e fotografias tiradas pelos próprios alunos de diferentes objetos e em diferentes espaços físicos da Escola. O software de Matemática dinâmica GeoGebra foi utilizado como um ambiente de investigação no qual os alunos pudessem criar e testar hipóteses, comparando seus resultados com os obtidos pelos colegas. Este software possui uma janela de visualização bidimensional na qual podem ser criadas construções geométricas dinâmicas que mantém suas propriedades quando algum elemento da construção é manipulado. Esta manipulação e visualização não poderiam ser obtidas apenas com desenhos em folhas de papel. Desse modo, buscamos verificar como os alunos transitavam entre o ambiente propiciado pelo software e aquele obtido com desenhos à mão livre. A metodologia utilizada durante a pesquisa foi embasada no método clínico de Piaget, através do qual foram elaboradas questões para serem respondidas ao longo da investigação. Além disso, utilizamos a teoria Construcionista como pano de fundo para a utilização do computador como um recurso capaz de modificar a aprendizagem, proporcionando um ambiente rico de investigação e descoberta, no qual os alunos são estimulados a pensar profundamente sobre o que estão produzindo. Como resultados, constatamos a importância do uso do recurso tecnológico digital como um elemento capaz de proporcionar a aproximação entre os conceitos geométricos e as estratégias criadas pelos estudantes. Por exemplo, nos desenhos feitos à mão livre, dois segmentos de reta podem ser considerados paralelos mesmo que não estejam perfeitamente paralelos. No software, se tais segmentos não forem construídos paralelamente, ao movimentar qualquer elemento da construção, a forma original será perdida. Esta compreensão é crucial, e torna a aprendizagem verdadeiramente significativa.

We live in a three-dimensional space. In this space all has three dimensions, even the thinnest sheet of paper we can find. At the same time, we deal with two-dimensional figures at all times, including in practical situations, how to calculate the area of a rectangular surface, for example. These figures are existing abstractions only in our imagination. A square does not exist outside of the mind, as well as the straight line, the point, the triangle, and any other non three-dimensional figure. All these elements are concepts belonging to the world of ideas. However, faced with a practical problem that forces us to seek relationships between what we see and we play and what we can only imagine: how to represent on a flat surface, such as a sheet of paper, a three-dimensional object such as a cube, a box or a house? This issue was presented and discussed with the Group of students participating in the survey, which began to create strategies to solve the question seeking to understand the geometric relationships that would permit such representation. Students began the investigation from Freehand drawings, artworks of Renaissance painters and photographs taken by the students themselves to different objects and different physical spaces in the school. Dynamic Mathematics software GeoGebra was used as a research environment in which students could create and test hypotheses by comparing their results with those obtained by colleagues. This software has a two-dimensional preview window in which you can create dynamic geometric constructions that maintains its properties when any construction element is handled. This manipulation and visualization could not be obtained just with drawings on sheets of paper. Thereby, we check how students passed back and forth between the environment provided by the software, and that obtained with Freehand drawings. The methodology used during the survey was based on the clinical method of Piaget, through which were prepared questions to be answered throughout the investigation. In addition, we use the Constructionist theory as a backdrop for the use of the computer as a resource capable of modifying the learning, providing a rich environment for research and discovery, in which students are encouraged to think deeply about what they are producing. As a result, we note the importance of digital technological resource usage as an element capable of delivering the rapprochement between the geometrical concepts and strategies created by students. For example, in Freehand drawings, two straight segments can be considered parallel even if they are not perfectly parallel. In the software if such threads are not built at the same time, when moving any element of construction, the original shape is lost. This understanding is crucial, and makes learning a truly significant.