Métodos dos elementos finitos aplicado às equações de águas rasas

Abstract

Este trabalho aborda a solução numérica das equações lineares de águas rasas. O método dos elementos finitos e utilizado para a discretização espacial das equações que modelam o problema, e para a discretização temporal, o esquema semi-implícito de Crank-Nicolson é empregado. Além de alguns conceitos comuns quando se trabalha com escoamentos geofísicos, são descritas também a formulação das equações de águas rasas, sua linearização e uma solução analítica para um caso onde o parâmetro de Coriolis é nulo. A escolha adequada de pares de elementos finitos é a principal dificuldade quando se trabalha com esse método para a resolução da equação de águas rasas. Assim, é discutido o uso de quatro pares de elementos finitos e técnicas de estabilização para contornar o surgimento de modos espúrios na solução discreta. Os resultados numéricos são realizados com auxílio do software FreeFem++, onde se pode notar a capacidade dos pares de elementos de reproduzirem o escoamento, através da solução discreta, além das propriedades de conservação de massa e energia de cada discretização.

This work is about the numerical solution of the linear shallow water equations. The finite element method is used for spatial discretization of the equations that model the problem and for the time discretization the semi-implicit Crank-Nicolson scheme is used. Besides the concepts related to geophysical flows, the formulation of the shallow water equations, their linearization and an analytical solution for a case where the Coriolis parameter is zero are also described. The appropriate choice of a pair of finite elements is the main difficulty when working with this method for solving the shallow water equations. The use of four pairs of finite elements and stabilization techniques to circumvent the appearance of spurious modes in the discrete solution are discussed. The numerical results are performed using the software FreeFem++, where one can notice the ability of the elements to represent the discrete solution and mass and energy conservation of each discretization.