Blocos de consenso, esquemas regenerativos e estimação em tempo polinomial de longas amostras de cadeias de Markov ocultas

Abstract

Esta tese propõe duas abordagens para estimar a seqüência oculta de uma cadeia de Markov oculta: blocos de consenso e blocos de regeneração. Em ambos os casos os algoritmos resultantes dependem de um número de operações que cresce polinomialmente com o tamanho da seqüência. Na primeira abordagem, quebramos a seqüência visível em blocos e estimamos a seqüência oculta de acordo com a maioria de símbolos que enxergamos na seqüência visível. Na segunda abordagem, utilizamos a estrutura regenerativa da cadeia para decompor em blocos independentes. Obtivemos limites superiores para a probabilidade de erro de estimação com os dois métodos. Na segunda abordagem, utilizamos o método de Monte Carlo markoviano e o algoritmo de Metrópolis para construir iterativamente a seqüência de instantes de regeneração e os blocos correspondentes de estados ocultos, dada a seqüência visível da cadeia. Na demonstração dos resultados foram utilizados resultados de esquemas regenerativos, o método de Chernofi e a desigualdade de Hoefiding. Esta tese tem também uma componente computacional. Com efeito, desenvolvemos rotinas em R que implementam os diversos algoritmos propostos. Também fizemos simulações que ilustram a funcionalidade dos algoritmos.

This dissertation introduces two new approaches to the problem of the estimation of the hidden chain in a hidden Markov model. In both approaches the number of steps necessary to estimate the hidden chain increase polinomially with the size of the sample (the observable chain). In the rst approach, through consensus substrings, we split the observable chain in substrings and estimate the hidden values as the one with appears in the most of the steps of the observable substring. In the second approach, through regenerative substrings, we split the chain using its regenerative structure. In both cases we obtain upper bounds for the error probability of the algorithms. In the second approach, we use the Monte Carlo Markov chains and the Metropolis algorithm to construct iteratively the sequence of the regeneration times and the corresponding substrings of hidden states, given the observable chain. The main tools use in the proofs of the theorems were the regenerative construction of the Markov chain, Chernoff's method and Hoe ding's inequality. This dissertation has also a computational aspect. In e aspect, all the algorithms introduced here have been implemented in R and the corresponding codes are available in the appendix. We also present several simulations to illustrate the applicability of the algorithms.