Complexos elípticos e teoria de Hodge
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Date
2012Author
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Academic level
Master
Type
Abstract in Portuguese (Brasil)
Este trabalho apresenta os conceitos envolvidos na definição de um complexo elíptico sobre uma variedade compacta M e desenvolve a teoria de Hodge neste complexo. O principal resultado em questão é o teorema de Hodge. No caso mais simples, dados dois fibrados vetoriais E → M , F → M e um operador diferencial elíptico L : Γ(E) → Γ(F ), agindo nas seções destes fibrados, o teorema de Hodge garante que a dimensão de seu núcleo N(L) é finita e que podemos decompor Γ(E) = N(L) ⊕ Im(L∗), onde Im(L∗) ...
Este trabalho apresenta os conceitos envolvidos na definição de um complexo elíptico sobre uma variedade compacta M e desenvolve a teoria de Hodge neste complexo. O principal resultado em questão é o teorema de Hodge. No caso mais simples, dados dois fibrados vetoriais E → M , F → M e um operador diferencial elíptico L : Γ(E) → Γ(F ), agindo nas seções destes fibrados, o teorema de Hodge garante que a dimensão de seu núcleo N(L) é finita e que podemos decompor Γ(E) = N(L) ⊕ Im(L∗), onde Im(L∗) é a imagem da adjunta de L. Para a demonstração apresentada aqui, são empregadas as propriedades dos espaços de Sobolev Hm(E) das seções de E. Certa ênfase é dada na obtenção de propriedades globais a partir de resultados locais. ...
Abstract
This work presents concepts involved in the definition of an elliptic complex on a compact manifold M and develops the Hodge theory over this complex. The main result at hand is the Hodge theorem. In the simplest case, given two vector bundles E → M , F → M and an elliptic differential operator L : Γ(E) → Γ(F ), acting on sections of these bundles, the Hodge theorem ensures that the dimension of its kernel N(L) is finite and that we can decompose Γ(E) = N(L) ⊕ Im(L∗), where Im(L∗) is the range ...
This work presents concepts involved in the definition of an elliptic complex on a compact manifold M and develops the Hodge theory over this complex. The main result at hand is the Hodge theorem. In the simplest case, given two vector bundles E → M , F → M and an elliptic differential operator L : Γ(E) → Γ(F ), acting on sections of these bundles, the Hodge theorem ensures that the dimension of its kernel N(L) is finite and that we can decompose Γ(E) = N(L) ⊕ Im(L∗), where Im(L∗) is the range of the adjoint of L. In the proof presented here, we employ properties of the Sobolev spaces Hm(E) of sections of E. We give an emphasis to obtaining global properties from local results. ...
Institution
Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Instituto de Matemática. Programa de Pós-Graduação em Matemática.
Collections
-
Exact and Earth Sciences (5092)Mathematics (362)
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