Polinômios multivariados : fatoração e MDC

Abstract

Nesta tese de doutorado estudamos polinômios multivariados. Começamos fazendo uma revisão bibliográfica sobre o teorema da irredutibilidade de Hilbert. Abordamos com detalhes as demonstrações da versão clássica feita pelo próprio Hilbert e das versões efetivas feitas por Erich Kaltofen e Shuhong Gao. Desenvolvemos um novo algoritmo para fatoração de polinômios multivariados inteiros usando logaritmo discreto. Nosso método é baseado em novos tipos de reduções de polinômios multivariados para polinômios bivariados, as quais têm como principal característica manter a esparsidade do polinômio. Nosso método mostrou-se eficiente quando usado para fatorar polinômios multivariados que possuem apenas fatores esparsos e quando usado para extrair fatores esparsos de polinômios multivariados que têm fatores esparsos e densos. Terminamos essa tese trabalhando com o máximo divisor comum (mdc) de polinômios. Estudamos critérios geométricos de politopos para determinar coprimalidade entre polinômios multivariados. Desenvolvemos um novo algoritmo que trabalha em tempo polinomial (sobre o número de monômios) para detectar coprimalidade entre polinômios multivariados usando seus politopos de Newton associados. Esse método geométrico tem a vantagem de determinar a coprimalidade entre famílias de polinômios, pois podemos mudar arbitrariamente os coeficientes dos polinômios desde que certos coeficientes permaneçam não nulos. Além disso, os polinômios permanecerão coprimos sobre qualquer corpo. Terminamos mostrando como construir o mdc entre dois polinômios bivariados usando seus polígonos de Newton associados.

In this dissertation we study multivariate polynomials. We begin with a bibliographical review on the Hilbert irreducibility theorem. We cover in detail the demonstrations of the classic version due to Hilbert himself and effective versions due to Erich Kaltofen and Shuhong Gao. We developed a new algorithm for factoring multivariate integral polynomials using discrete logarithm. Our method is based on new types of reductions, from multivariate polynomias to bivariate polynomials, whose main feature is to maintain the sparsity of the polynomial. Our method has proved to be eficient when used for factoring multivariate polynomials that have only sparse factors and when used to extract sparse factors of multivariate polynomials that have sparse and dense factors. We finish this dissertation studying the greatest common divisor (gcd) of polynomials. We study geometric criteria of polytopes to determine coprimality between multivariate polynomials. We developed a new algorithm that works in polynomial time (on the number of monomials) to detect coprimality between multivariate polynomials using their associated Newton polytopes. This geometric method has the advantage of determining the coprimality between families of polynomials, since we can arbitrarily change the polynomial coeficients as long as some coeficients remain nonzero. Moreover, the coprime polynomials shall remain coprime on anyfield. We ended up showing how to build the gcd between two bivariate polynomials using their associated Newton polygons.