Hamiltoniano de Heisenberg : diagonalização exata e Ansatz de Bethe coordenado

Abstract

No presente trabalho, realizou-se um estudo acerca do Hamiltoniano quântico unidimensional de Heisenberg de spin 1/2 para sistemas compostos por dois, três e quatro sítios. Primeiramente o modelo foi resolvido, tanto na sua variante isotrópica quanto anisotrópica, através do método da Diagonalização Exata, obtendo-se, dessa forma, as autoenergias e autoestados associados. Nesse ínterim, buscou-se descrever o comportamento do sistema quando da interação com um campo magnético externo, tendo sido observado, dentre outros, o levantamento das degenerescências energéticas. Posteriormente resolveu-se novamente o modelo, via o Ansatz de Bethe Coordenado: os resultados energéticos foram interpretados em termos de mágnons, i.e. excitações elementares da rede de spins. Quando da situação de dois ou mais sítios, pôde-se reformular o problema na abordagem de muitos corpos, que requerem a resolução das chamadas Equações de Bethe e, por acréscimo, a obtenção dos números quânticos de Bethe. Por fim, realizou-se uma breve discussão sobre o significado físico dos resultados obtidos.

In the present work, a study was carried out on the one-dimensional quantum Heisenberg Hamiltonian of spin 1/2 for systems composed of two, three and four sites. Firstly, the model was solved, both in its isotropic and anisotropic variants, using the Exact Diagonalization method, thus obtaining the associated eigenergies and eigenstates. In the meantime, an attempt was made to describe the behavior of the system when interacting with an external magnetic field, having observed, among others, the lifting of the energetic degeneracies. After that, the model was solved once again, now using the Coordinate Bethe Ansatz: the energetic results were interpreted in terms of magnons, i.e. elementary excitations of the spin lattice. When dealing with two or more sites, the problem could be reformulated in the multi-body approach, which required the resolution of the so-called Bethe Equations and, in addition, obtaining the Bethe quantum numbers. Finally, there was a brief discussion about the physical meaning of the results obtained.