Introdução às teorias KAM e KAM-fraca

Abstract

Ao longo deste trabalho, introduzimos a Teoria de Kolmogorov-Arnold-Moser e um de seus desenvolvimentos subsequentes, a chamada Teoria KAM-fraca. Em um primeiro momento, apresentamos os fundamentos da mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana, desde as definições básicas até a Teoria de Hamilton-Jacobi e as variáveis de ação-ângulo, úteis para o estudo de sistema periódicos. Após isso, apresentamos o Teorema de Liouville de preservação de volume e o Teorema de Liouville-Arnold-Jost que serve como uma caracterização de sistemas integráveis. Em seguida, introduzimos a teoria de perturbação, examinando o problema dos pequenos divisores e sua íntima relação com o Teorema KAM, que é enunciado após o problema de Siegel de convergência de séries de Fourier. Ao final, é feita uma exposição da Teoria KAM-fraca, iniciando com os conceitos de valores críticos para o Hamiltoniano e os operadores do semigrupo de Lax-Oleinik. Uma atenção especial deve ser dada ao Teorema KAM-fraco, com o qual as seções seguintes são ligadas. Nestas, apresentamos a definição de barreira de Peierls e de conjuntos de Aubry, além de alguns resultados sobre a regularidade de soluções KAM-fracas.

In this work, we introduce the Theory of Kolmogorov-Arnold-Moser and one of its subsequent developments, the Weak-KAM Theory. In a first moment, we present the principles of Lagrangian and Hamiltonian mechanics, from the basic definitions to the Hamilton-Jacobi Theory and the action-angle variables, which are useful to study periodic systems. Next, the Liouville Theorem of volume preservation and the Liouville-Arnold-Jost Theorem that provides characterization on integrable systems are presented. Then, we introduce a perturbation theory, examining the small-divisors problem and its relation to KAM Theorem, that is stated soon after the Siegel’s problem on the convergence of Fourier series. Finally, present elements of the Weak-KAM theory, starting with with concepts like critical values of Hamiltonians and the Lax-Oleinik semigroup operators. Special attention is given to the Weak-KAM Theorem, which is related to topics such as the Peierls barrier and Aubry sets, in addition to some results on the regularity of Weak-KAM solutions.