Processos a tempo contínuo com longa dependência

Abstract

Neste trabalho, estudamos dois processos estocásticos a tempo contínuo que advêm de uma classe de processos baseada na solução da equação de Langevin generalizada. Consideramos para o ruído um processo de Lévy α-estável. Apresentamos um estudo de algumas medidas de dependência que possam substituir a função de autocovariância, no caso α-estável. As medidas de dependência consideradas foram: função de covariação, função de codiferença e função de covariância espectral. Além disso, propomos um processo estocástico que pertence à classe dos processos média móvel fracionariamente integrados, obtido a partir das integrais de Riemann-Liouville. Para os processos estudados neste trabalho, apresentamos propriedades e resultados teóricos, especialmente, provamos que estes processos possuem ou não a propriedade de longa dependência. Encontrado um processo que possui a propriedade de longa dependência, apresentamos um estudo de simulações para este processo, mostrando a sua geração e outras propriedades, no caso em que o ruído é o movimento Browniano. Por fim, apresentamos um estudo sobre a estimação dos parâmetros do processo que possui a propriedade de longa dependência.

In this work we study two continuous-time processes arising from the class of processes based on solution of the generalized Langevin equation. We consider α-stable Lévy motion as the noise. We present a study of some dependence measures in order to replace the autocovariance function in the α-stable context. We consider three different dependences measures: covariation, coddifference and spectral covariance. We also present a study of a stochastic process that belongs to the class of the fractionally integrated moving average processes. We use the Riemann-Liouville fractional integral to construct this process. We prove theorical properties for the processes under study, especially, we show if these process have or not the long-range dependence associated. After finding a process that has the property of long-range dependence, we present a simulation study for this process. We restrict the noise as Brownian motion for simulation purposes. Lastly, we apresent a study about the estimation of the process parameters that has the long-range property.