Soluções espectronodais para problemas bidimensionais de radiação em meio com anisotropia de grau arbitrário

Abstract

Neste trabalho, uma formulação explícita para resolver problemas de transferência radiativa em geometria cartesiana bidimensional e meios com espalhamento anisotrópico é desenvolvida. A anisotropia de ordem superior é modelada a partir da expansão da função de fase em termos de polinômios de Legendre até a ordem arbitrária L. Uma metodologia analítica de ordenadas discretas (método ADO) juntamente com uma técnica nodal são utilizadas para resolver a aproximação de ordenadas discretas da equação de transferência radiativa. Para derivar a solução, as equações de ordenadas discretas são integradas transversalmente sobre regiões do domínio reduzindo a complexidade do modelo, resultando em duas equações unidimensionais para intensidades angulares médias nas direções x e y. As equações unidimensionais, com aproximações constantes para as intensidades desconhecidas nos contornos das regiões, são então explicitamente resolvidas pelo método ADO, no que diz respeito às variáveis espaciais, cujas soluções são escritas em termos de autovalores e autofunções. O problema de autovalor é derivado para o caso geral da expansão de ordem arbitrária da função de fase e preserva uma característica relevante do método ADO, que é a ordem reduzida igual à metade do número de direções discretas. Da aplicação do método, dito ADO-Nodal, para derivação de soluções de problemas de transporte radiativo surgem sistemas de equações lineares de alta ordem e esparsos, uma vez que esta técnica não usa esquemas de varredura. A solução do sistema é determinada inicialmente por métodos diretos, através da fatoração LU de uma matriz geral. Em uma segunda etapa, um rearranjo desse sistema linear é obtido modificando a estrutura da matriz para o caso esparsa com estrutura diagonal, possibilitando sua resolução através de subrotina específica. O reordenamento das equações permitiu a resolução de sistemas de ordem superior aos obtidos anteriormente na literatura, aumentando assim a acurácia geral do método ADO para a classe de problemas investigada. Ainda na busca de alternativas para sistemas de ordem superior gerados para os casos de malhas cada vez mais refinadas, são estudadas soluções alternativas do sistema linear em paralelo e com o uso da técnica de decomposição de domínio por complemento de Schur. Resultados numéricos são obtidos para a densidade média de radiação para casos teste em que o grau de anisotropia pode ser de até doze. Uma análise comparativa com resultados disponíveis na literatura permite a verificação da formulação e indica um bom desempenho do método proposto. Ainda, esquemas alternativos de quadratura numérica, que permitem ordem superior aos esquemas clássicos disponíveis na literatura para esse problema, são utilizados para aproximar o termo integral de espalhamento. Análises são realizadas sobre os efeitos no fluxo de calor radiativo da espessura óptica do meio, bem como a reflectividade no contorno do domínio e o albedo de espalhamento. Foram gerados resultados para malhas mais refinadas dos que os disponíveis na literatura e para diferentes espessuras ópticas do meio, bem como análises de intensidades médias por seção do domínio, na tentativa de busca de soluções benchmark para estes problemas com anisotropia.

In this work, an explicit formulation to solve radiative transfer problems in two-dimensional Cartesian geometry and anisotropic scattering media is developed. Higher order anisotropy is modeled from the expansion of the phase function in terms of Legendre polynomials up to arbitrary order L. The Analytical Discrete Ordinates (ADO) method along with a nodal technique are used to solve the discrete ordinates approximation of the radiative transfer equation. To derive the solution, the discrete ordinates equations are transversally integrated over regions of the domain, reducing the complexity of the model, yielding two one-dimensional equations for average angular intensities in x and y directions. The one-dimensional equations, with constant approximations for unknown intensities on the contours of the regions, are explicitly solved by the ADO method, with respect to spatial variables, whose solutions are written in terms of eigenvalues and eigenfunctions. The eigenvalue problem is derived for the general case of the arbitrary order expansion of the phase function and it preserves a relevant feature of the ADO method, which is the reduced order equal to half the number of discrete directions. From the application of the so-called ADO-Nodal method, to derive solutions to radiative transport problems, high order and sparse linear systems arise, since this technique does not use sweep schemes. Firstly the system solution is determined by direct methods through the LU factorization of a general matrix. As a second step, a rearrangement of this linear system is obtained to make the system more feasible to be solved using LU factorization of a sparse matrix with a diagonal structure. The reordering of the equations allowed to solve systems of higher order than previously obtained in the literature, thereby increasing the overall accuracy of the ADO method for the class of problems being investigated. Furthermore, alternative solutions of the linear system in parallel computation and with the use of the domain decomposition technique through Schur complement are studied for dealing with higher order systems generated in refined meshes. Numerical results are obtained for the average radiation density, for test cases in which the degree of anisotropy can be up to twelve. A comparative analysis with results available in the literature allows the verification of the formulation and indicates a good performance of the proposed method. Moreover, alternative numerical quadrature schemes that allow higher order schemes than classical ones available in the literature for dealing with such problems are used to approximate the integral scattering term. Analysis are carried out on the effects on the radiative heat flux of the optical thickness of the medium, as well as reflectivity on the boundary of the domain and the scattering albedo. In addition, results for more refined meshes than those available in the literature and different optical thicknesses of the medium as well as analysis of section average intensities were included searching for providing benchmark solutions for this class of problems.