Um processo iterativo para aproximar sub-ações calibradas e exemplos explícitos em Otimização Ergódica

Abstract

Apresentamos um procedimento iterativo para aproximar numéricamente sub-ações calibradas. O problema principal em Otimização Ergódica consiste de calcular médias maximais ergódicas. Dado um sistema dinâmico T : X → X e uma função contínua A : X → R, chamada de potencial, nesta teoria o interesse principal está no valor m(A) := sup ρ is a T-invariant probability R A dρ e na probabilidade ρ que atinge este valor, chamada de probabilidade maximizante. Estamos interessados em propriedades de tal ρ. Sub-ações calibradas são funções V : X → R tais que max T(y)=x [A(y) + V (y)] = m(A) + V (x). O motivo de interesse nas sub-ações é porque os suportes das probabilidades maximizantes de A estão contidos no conjunto {x | V (T(x)) − V (x) − A(x) + m(A) = 0}. Uma propriedade importante é a de que se uma probabilidade invariante possui suporte no conjunto acima, ela é maximizante (ver [5]). Para um potencial Hölder A sempre existe uma sub-ação calibrada. Também é conhecido que genéricamente para um potencial Hölder A a sua probabilidade maximizante é única. Se a probabilidade maximizante é única, então a sub-ação calibada é única a menos de uma constante aditiva. Nosso procedimento consiste em iterar um operador em uma função inicial, convergindo para um ponto fixo que será uma sub-ação calibrada. Se existir mais de uma sub-ação calibrada o limite depende da condição inicial. A implementação do procedimento é direta e exige pouco poder computacional. O processo também pode ser aplicado na estimação de raio espectral conjunto de matrizes. Nos restringiremos para X = S 1 := [0, 1] e A : X → R contínua. Estamos principalmente interessados no caso T(x) = 2x(mod 1), mas outras dinâmicas T também são consideradas. Sub-ações calibradas são importantes para obter o valor m(A) e a probabilidade maximizante. O procedimento proposto aproxima numéricamente sub-ações calibradas e o valor m(A). Com essas aproximações nós podemos adivinhar um sistema de equações que a sub-ação deve satisfazer, a resolução deste sistema fornece a solução explícita para a sub-ação calibrada e o valor m(A). Nós deduzimos o sistema heurísticamente utilizando o gráfico da sub-ação calibrada aproximada.

We present an iterative procedure for numerically approximating calibrated sub-actions. The central issue of Ergodic Optimization consists of computing maximal ergodic averages. Given a dynamical system T : X → X, and a continuous function A : X → R, called the potential, in this theory the main interest is in the value m(A) := sup ρ is a T-invariant probability R A dρ and the probability ρ which attains this value, called the maximizing probability. Properties of such probabilities are the main issue here. Calibrated subactions are functions V : X → R such that max T(y)=x [A(y) +V (y)] = m(A) +V (x). The interest on calibrated subactions is due to the fact that the support of maximizing probabilities for A are contained on the set {x | V (T(x))−V (x)− A(x)+m(A) = 0}. An important property is: if an invariant probability has support inside the above set, then, this probability is maximizing (see [5]). For a Hölder potential A a calibrated subaction always exists. It is also known that generically on a Hölder potential A the maximizing probability for A is unique. If the maximizing probability is unique the calibrated subaction is unique up to an additive constant. Our procedure consists of iterating an operator acting on a given initial function which will converge to a fixed point which will be a subaction. If there exists more than one subaction the limit depends on the initial condition. Its implementation is straightforward and requires little computational power. The iterative procedure can also be applied to the estimation of the joint spectral radius of matrices. We restrict ourselves to X = S 1 := [0, 1] and A : X → R continuous. We are mainly interested in the case T(x) = 2x(mod 1) but other dynamics T are also considered. Calibrated subactions play an important role in computing the value m(A) and the maximizing probability. Our proposed iterative procedure approximates numerically calibrated subactions and the value m(A). With these approximations, we can guess a system of equations that the calibrated subaction must satisfy, solving this system yields the explicit expression for the calibrated subaction and the value m(A). We derive the system heuristically by using the graph of the approximated calibrated subaction.