Avaliação de diferentes alternativas para a determinação de regiões de confiança de estimativas de parâmetros

Abstract

A estimação de parâmetros consiste em determinar o conjunto ótimo dos valores dos parâmetros de modelo específico, o qual corresponde ao menor valor possível para o desvio entre as variáveis medidas experimentalmente e as preditas pelo modelo. Como os valores mensurados experimentalmente estão sujeitos a incertezas, o mesmo acontecerá com os valores estimados, fazendo-se necessário determinar a incerteza destes. Em modelos com um único parâmetro, podem ser definidas faixas ou intervalos de confiança contendo valores estatisticamente iguais ao valor ótimo. Já para modelos que possuem mais de um parâmetro, a abordagem mais adequada é determinar as suas regiões de confiança, pois a provável presença da correlação entre os parâmetros estimados invalida a análise somente por intervalos de confiança. Nesse trabalho foram avaliadas diversas metodologias para a determinação de regiões de confiança. Inicialmente foi avaliado o impacto que o uso da aproximação de Gauss-Newton gera no cálculo das regiões de confiança elípticas quando comparada com o cálculo da matriz Hessiana completa. O uso da aproximação comprovou-se justificável nos casos estudados, já que não foram observadas diferenças significativas entre as regiões resultantes pelo emprego dos dois métodos. Também foi avaliada a qualidade das regiões de confiança obtidas pelo método da razão de verossimilhança. Foi utilizado o método do Contorno que percorre o limite da região de confiança determinando de forma quase exata o seu traçado. Este método funciona bem para uma grande maioria de modelos, mas apresenta algumas dificuldades quando as regiões possuem variações bruscas na sua geometria. Também foi usado o método do Perfil, que consiste na determinação de intervalos de confiança baseados na razão de verossimilhança, seguido de uma interpolação para determinação das regiões de confiança. Entretanto, esta metodologia não conseguiu delimitar regiões de confiança com geometria mais complexa. Por fim, foi utilizado o método de Bootstrap, o qual consiste em estimar novos valores ótimos a partir de perturbações normalmente distribuídas nas variáveis experimentais. As regiões geradas por este método possuem pontos que se concentram majoritariamente nas proximidades do ponto ótimo, embora também ocorram dispersões. Apesar do traçado da região de confiança não ficar evidente, estes pontos podem ser utilizados para a avaliação da distribuição de probabilidades das estimativas dos parâmetros.

Parameter estimation consists of determining the optimal set of parameter values for a specific model, which minimize the difference between the variables measured experimentally and those predicted by the model. As the values measured experimentally are subject to uncertainties, the same will happen with the estimated values, making it necessary to determine their uncertainty. In models with a single parameter, confidence ranges or intervals can be defined containing values statistically equal to the optimum value. For models that have more than one parameter, the most appropriate approach is to determine their confidence regions, since the likely presence of the correlation between the estimated parameters invalidates the analysis only by confidence intervals. In this work, several methodologies for determining regions of trust were evaluated. Initially it was evaluated the impact that the use of the Gauss-Newton approximation generates when considering it in the calculation of the elliptical confidence regions when compared with the calculation of the complete Hessian matrix. The use of the approximation proved to be justiciable, since no significant differences were observed between the regions obtained by using the two methods. The quality of the confidence regions obtained by the likelihood ratio method was also evaluated. For this work, the Contour method was chosen, which crosses the border of the confidence region, determining its contour almost exactly. This method works well for a large majority of models, but presents some difficulties when the regions have sudden variations in their geometry. The Profile method was also used, which consists of determining the confidence interval based on the likelihood ratio, followed by an interpolation to determine the confidence regions. However, this methodology was unable to delimit regions of trust with more complex geometry. Finally, the Bootstrap method was used, which consists of estimating new optimal values from perturbations normally distributed in the experimental variables. The regions generated by this method have points that are mainly concentrated in the vicinity of the optimum point, while some of them are more dispersed. Although the tracing of the confidence region is not evident, these points can be used to assess the probability distribution of the parameter estimates.