Estimação dos parâmetros do modelo F-SAC utilizando um algoritmo de otimização baseado em derivadas

Abstract

No desenvolvimento atual do modelo F-SAC, a estimação dos seus parâmetros é realizada com o uso de um clássico algoritmo de Nelder-Mead. Entretanto, à medida que o número de parâmetros a serem estimados aumenta, este método apresenta dificuldades de convergência. Assim, neste trabalho sugeriu-se a utilização de um algoritmo de otimização baseado nas derivadas da função objetivo para estimação dos parâmetros do modelo F-SAC. Isto demanda a obtenção de valores confiáveis das derivadas do modelo com relação aos seus parâmetros. Todavia, um método iterativo inerente ao F-SAC dificulta a sua derivação analítica. Logo, propõe-se a aplicação do Teorema da Função Implícita para a obtenção das derivadas implícitas do F-SAC, fácil e eficientemente, com relação a qualquer variável. O método proposto foi testado na derivação do modelo com relação à temperatura e ao número de mols de algum componente na mistura. As derivadas implícitas com respeito à temperatura foram comparadas com as respectivas derivadas numéricas, obtidas por diferenças finitas; os resultados exatos e numéricos apresentaram desvios na ordem de 10[elevado]-5. As derivadas implícitas com respeito ao número de mols foram inferidas por um teste de consistência de Gibbs-Duhem e comparadas com as derivadas numéricas; os valores de Gibbs-Duhem utilizando as derivadas numéricas foram inferiores a 10-² e utilizando derivadas implícitas menores do que 10[elevado]-5. A partir disto, foi realizada a derivação do F-SAC com relação aos seus parâmetros. As derivadas implícitas foram comparadas com derivadas numéricas, para diversas misturas binárias, com diferentes composições, num intervalo de 273,15 K a 423,15 K; os resultados apresentaram um desvio médio de 1,083 x 10[elevado]-5. Os tempos computacionais para a obtenção das derivadas também foram comparados; as derivadas implícitas foram mais rápidas para todos os testes. Finalmente, as derivadas do modelo F-SAC com respeito aos seus parâmetros foram utilizadas em um método de otimização baseado em derivadas denominado MMA e disponível dentro do pacote computacional NLopt. Para testar o MMA foram propostos 5 testes; em todos os testes realizados, o algoritmo convergiu para um mínimo local da função objetivo. Os resultados demonstraram que o MMA pode ser empregado na estimação de parâmetros do F-SAC. Além disto, foi realizado um estudo simplificado da influência do raio de contato padrão no comportamento do modelo. Espera-se simplificar a tarefa de estimação de parâmetros do modelo, e possibilitar a ampliação da tabela atual de parâmetros de maneira simples.

This requires, ultimately, reliable values of model’s derivatives in relation to their parameters. However, an iterative method, inherent to F-SAC, difficults its analytical derivation. Therefore, the application of the Implicit Function Theorem is proposed in order to obtain FSAC’s implicit derivatives, easily and efficiently, in relation to any variable. The proposed method was tested in the derivation of the model with respect to the temperature and the number of mols of some component in the mixture. The implicit derivatives with respect to temperature were compared with the respective numerical derivatives, obtained by finite differences; the implicit and numerical results showed deviations in the order of 10[eleved]-5. The implicit derivatives with respect to the number of moles were inferred by a Gibbs-Duhem consistency test and compared with numerical derivatives; the Gibbs-Duhem using the numerical derivatives were lower than 10-² and the implicit derivatives were lower than 10[eleved]-5. From these results, the derivation of the F-SAC with respect to its parameters was performed. The implicit derivatives were compared with numerical derivatives for various binary mixtures with different compositions in a range of 273.15 K to 423.15 K; the implicit and numerical results showed an average deviation of 1.083 x 10[eleved]-5. The computational times to obtain the implicit and numerical derivatives were also compared; the implicit derivatives were faster for all tested systems. Finally, the derivatives of the F-SAC model with respect to its parameters were used in an derivative-based optimization method called MMA and available within the NLopt computational package. To test the MMA, 5 tests were proposed; in all the tests performed, the algorithm converged to a local minimum of the objective function. The results demonstrated that the MMA can be used in the estimation of parameters of the F-SAC model. Besides, the influence of the standard contact radius on the model was studied. It is expected to simplify the model’s parameters estimation task, as owell as to allow the extension of the current table of parameters in a simple way.